逻辑中的对偶原理与蕴含定理
这两个是总结出的符号的变化规律和推理规律用于简化推理,这两个都是等值变换。约定不是乱定的,好的约定就是一个定理,在证明约定的合理性后,能简化大量的推理细节,这是一种不同于定理的封装方式。
在了解蕴含定理前需要先理解蕴含连接词。最后用逻辑语言来描述 ε-δ极限,总结一些比较好的符号约定。
蕴含连接词→的真值表为什么这么定义
这里只关注这个普普统统的蕴含连接词,不考虑其他的各种乱七八糟的蕴含,因为它简单,所以它好找规律
蕴含词→ 的真值表是这样的
对于¬,∧,∨,→
→是唯一不符合直觉的一个连结词，但作为演绎推理,只能这么定义,在人们刚能够使用语言的时候,在还没有真值表之前,人们就一直在用¬,∧,∨,→,只是可能没有意识到自己在用。
→真值表的定义必须考虑人们对→的使用习惯,下面的三个规则是所有人都公认的
L1: p→q 与 ¬q→¬p 等价
L2: p→q 与 q→p 不等价
L3: 1→1=1,1→0=0
有了这三条规则,就能得到→的真值表了
P1: L3 ⇒ x4=1,x3=0
P2: L3,L1 ⇒ x1=1
P3: x4=1,x3=0,x1=1
P4: x2=0 ⇒(x1,x2,x3,x4)=(1,0,0,1)⇒ p→q 与 q→p 等价, 这与 L2 矛盾
所以x2=1， (x1,x2,x3,x4)=(1,1,0,1)。 □
对偶原理(MRP)‘=M’R’P’
叫做对偶原理的的命题有很多,有电路中的,逻辑中的,几何中的,范畴中的,它们表现千差万别,只是有一点相似的感觉,科学共同体已经给对偶原理下了很多抽象精确的定义,但这里的对偶原理仅限于指代形如(MRP)‘=M’R’P’的符号变化规律。
对偶原理的意思是说当M与P有R时,经过对偶映射 ’ 后的M’与P’将有R’, 称映射 ’ 叫对偶映射,它通常需要从常规映射延拓入R得到 或 多个映射合并得到。 映射 ’ 的定义域是项集，项集是由对象和关系组成的混合集合。M,R,P，M’,R’,P’统称为一个项， 上下标记号通常指一个整体,而不能看做两个项,比如 a0 和a0 。
大量场景下R=R’，故对偶原理可简化为(MP)‘=M’P’。
这个对偶原理和数字电路的对偶原理很像,但并不一样,这里的对偶并不一定是对立,否定的意思, 因为 命题,连接词,量词,模态词,关系,对象,映射等等 都可以有各自的对偶，这个对偶原理是个模糊定理 , 因为我说不清公式中的 M, R,P,M’，R’，P’ ， ’ 这几个符号代表什么意思。对偶映射不能改变元素的类型,它只能将对象映射到对象,将关系映射到关系,将运算映射到运算，将映射映射到映射
M→M’
R→R’
P→P’
(M,R,P)→(M’,R’,P’)
大多数情况下只要M,R,P, M’ P’，R’有某种意义 , 那么(MRP)‘=M’R’P’总是成立的
(M,R,P)和(M’,R’,P’)是个对偶对, 利用(MRP)'=M’R’P’可以从老对偶对得到新的对偶对,最常见的场景是把M看作模态词,把P看成命题, R看成关系
例子
P1: (3*5)-1=(3 -1) *(5 -1)； 对偶映射为数的倒数延拓入乘法运算
P2: (或)‘=(有真)’=(有’真’)=(没有假)=(与) ==> 或和与是个对偶对,对偶映射为否命题延拓入命题连接词
P3: a ∈ G ⇔ a’ ∈’ G’ = aH ⊆ GH ; 对于a的映射为 ‘: a →a’=aH , 对偶映射为群的作用延拓入∈
P4： ab-1 ∈ H ⇔ Ha =Hb （这个要连续使用4次对偶原理,左边∈两侧左乘H再右乘b2…）
P5: x ∈ A ⇔ kx ∈ kA (这个对偶映射比较复杂,为数的数乘与集合的数乘合并后再延拓入∈得到)
P6: (必然 死)‘=可能 活
P7: (所有 死)’=存在 活
P8: (所有 P)’ =存在 非P
P9 ┐∀x P(x)=∃x ┐P(x) 这里要注意一下，∀x 是一个不可分割的项,此时的对偶映射是指"命题否定的延拓",为了让这个映射能作用到量词上
P10: 常用的对偶对: (所有,必然,禁止,必须,永远,是,与…)'= (存在,可能,允许,无需,有时,非, 或…)
这个对偶原理只是概括了一部分逻辑经验,不必较真。
蕴含定理:∧pi→∨qj ,两边取否定后换到另一侧与原命题等价
蕴含定理是一个很通用漂亮的定理,从它可以看到真到真的美,蕴含定理中的新旧命题是等于关系，可以随意替换。将p是对的作为p的语义带入p相关的命题公式能直观的理解命题公式间的变换
证明
简单起见,只需用真值表法证明右移 p∧q→r=p→ ┐q∨r 和 ** 左移p→q∨r=p∧ ┐q→r **即可。 证明略
约定
P1： 1→p = p = ┐p→0 = p = p是对的
P2: p→0 = ┐p
P3: 0→p = 1
P4: ∧pi→∨qj = {p1,p2…pn}→{q1,q2…qn} （一种简写）
上面的几个永真式, 是想把0,1也加入到命题演算中,P4中左边可加1,右侧可加0
{p1,p2…pm}→{q1,q2…qn} 永真必然为下面情况之一
P1：左边有假
P2：右边有真
P3：在某测存在一对矛盾式
P4：在两侧存在一对等值式
比如下面把p2移到右侧
p1∧p2→q1∨q2 ⇔ p1→ ┐p2∨q1∨q2
结合对偶原理与蕴含定理能大大简化命题公式的证明
量词对当关系中的矛盾式关系 指 如下对当图过中心的直线 (点表示对象,对象之间的连线表示对象间的关系)
例1：证明反证法 p→q⇔p∧┐q→0
实际就是直接将q取反后移到左侧
例2：证明 p→q⇔┐pvq
把p移到右侧,左边留下了一个1,而左边的1是可以省略的
P1: p→q = 1 → ┐pvq = ┐pvq
例3：证明 ┐(p→q)⇔p∧┐q⇒p→ ┐q
P1 ：┐(p→q )=┐(┐pvq）=p∧┐q | 例2
命题节点法中的变换是恒等变换,而 ┐(p→q ) 和 p→┐q 只是单纯的蕴含
例4：证明 p1→q1vq2⇔p1∧ ┐q1→q2
P1: 把q1移到左侧 , OK
例5：证明CP规则 p1→(q1→q2) ⇔ p1∧ q1 →q2
P1: p1→(q1→q2) = p1→(┐q1vq2)
P2: 将q1移左侧得到 p1∧ q1 →q2
例6：证明(a,b)=1∧ (a,c)=1 → (a,bc)=1 是永真式
一个命题如果不好证明,用蕴含定理转换为其等价形式,也许就好证明了
C1：绿色部分为假设
C2: (a,bc)的最小因子为p
反证法
P1: (a,bc)≠ 1
P2: p≠1
P3: p|a∧p|bc
T1: p|bc → p|b V p|c
P4: p|bc ∧ p~~|~~b → p|c | 蕴含定理 T1=P4
P5: (p,b)=1 ⇒ px+by=1(裴蜀定理) ⇒ pcx+bcy=c ⇒ p|c
P6: p|b V p|c | P2,T1
P7: p|c //例5中b,c对称,让p|b为真类似
P8: p|c,p|a,(a,c)=1 ⇒ p=1 与 P2矛盾 ⇒ 例6永真
使用逻辑语言描述数学命题
将数学命题使用谓词逻辑表达
刚学数学分析时那时还没正式的接触谓词逻辑,只是零散的学过一些符号∀,∃,数学分析教材上虽然使用了一些符号，但并不是正确的命题公式,更谈不上逻辑规则的套用。
数列极限的3种表达
人的语言:当n足够大时,an离A可以任意近
数学语言:∀ε∃N∀n(ε>0ΛN>0Λn>N)→|an-A|<ε)
逻辑语言:∀x∃y∀z(F(x,y,z))
逻辑语言适用于对推理规律的总结
数学语言适用于数学概念的定义与命题的推理
人的语言适用于命题证明思路的启发
还有自己定义的一些符号或写法用于简化推理
熟练推理的前提是不同语言间的熟练的转化
谓词逻辑中的命题公式很多,数学推理中用到的却很少
有上面的对偶原理就够了,对偶原理可以用来找一个命题的否命题
这一点在数学上用的非常多.
lim An=A 的否命题为 lim An≠A
对偶原理 带入∀ε∃N∀n(ε>0ΛN>0Λn>N)→|an-A|<ε)
得到 ∃ε∀N∃n(ε>0ΛN>0Λn>N)Λ|an-A|≥ε)
里面用到了¬(p→q)=¬(¬pVq)=(pΛ¬q)
可以看到就是在交叉使用 对偶原理 和 蕴含定理
推理符号简化
如果严格按照逻辑语言描述数学命题将会非常繁琐, 所以我们需要大量约定来简化描述,但要求约定后的表达式应该尽量符合对偶原理。
下面两条是数学语言与简化后的自定义语言的关系,其规律是将量词约束与论域约束写在一起,甚至后面的→和Λ 都可省掉,自定义语言一是能简化推理少写字,其次是方便和自然语言的转化, 自定义语言是想怎么写就怎么写的,只要自己清楚如何与其他语言转化即可。
表达式1与表达式2互为否命题,下面用自定义语言进行简化
符号约定：
P4与P5因为保持了对偶原理仍成立,所以他们是比较好的约定,P4与P5说明
** 命题的否命题,直接量词替换为对应的对偶量词,而不要替换量词的下标,量词的下标也可以是一个命题**
P1: 无下标变量为全称约束有下标变量为存在约束 x=∀x , x0 =∃x0
P2: x有约束时表达式左侧为全称限制右侧为约束限制 a>b = ∀a∃b
P3: 量词约束与对应辖域可用空格隔开 ∀x P(x) = ∀x(P(x)）
P5: ∀x(P(x)→Q(x)) 的简化写法为 ∀P(x) Q(x) , 该约定能保持对偶原理仍成立 ┐∀P(x) Q(x)=∃P(x) ┐Q(x)
P4: ∃x(P(x)∧Q(x)) 的简化写法为 ∃P(x) Q(x), 该约定能保持对偶原理仍成立 ┐∃P(x) Q(x)=∀P(x) ┐Q(x)
P5: P5: limε→0s(ε)\lim_{ε \to 0} s{(ε)}limε→0s(ε)=0 ,Sε={x | x是一个关于ε→0的极限为0的表达式，Sε 的元素记作 sε或s(ε)
表达式的简化
表达式1： ∀ε∃N∀n(ε>0ΛN>0Λn>N)→|an-A|<ε)
表达式1是对 limn→∞an\lim_{n \to \infty} a_{n}limn→∞an= A 的翻译
简化1
∀ε>0 ∃N>0∀n>N→|an-A|<ε
简化2
∀ε∃N, n>N’→|an-A|<ε
简化3
(ε,N) → |an-A| <ε
表达式2：∃ε∀N∃n(ε>0ΛN>0Λn>N)Λ|an-A|≥ε)
表达式2是对 limn→∞an\lim_{n \to \infty} a_{n}limn→∞an≠ A 的翻译
简化1
∃ε>0∀N>0∃N1>N |aN1-A|≥ε
简化2
（ε,N） |aN-A|≥ε
这个表达式中的ε,N, 都是存在约束,存在约束不要用蕴含表达,全称约束不要用合取表达
表达式3：∀ε∃Nε∀n(ε>0ΛNε>0Λn>Nε)→|an-A|<sε)
表达式3与表达式1等价, 表达式3可简化极限的证明
简化1
(ε,N ) → |an-A| <sε
例1
证明 limn→∞1n\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}limn→∞n1 ≠ 1
P1: ∃ε>0 ∀N>0, ∃n>N Λ |an-A|≥ε ⇔ lim an≠A
P2： 取ε=0.1， ∀N>0 ∃n=N+100 , > =0.9>0.1 ok
例2
例2
证明 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4wvQa5Q8-1649441022244)(https://cdn.nlark.com/yuque/latex/f091c772f83f3697605ecfdadca38edc.svg#card=math&code=%5Clim%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20a%7Bn%7D&id=R59uF)] = A ⇔ $表达式1 ⇔ $表达式3
其中,右侧的 sε是一个ε→0的极限为0的表达式
用这个在证明比用原始定义要方便一些,我们不用费那么大劲, 找|an-A|<ε的N
只需找 |an-A|<sε 的N即可
P1: 要证明 ∀ε∃N∀n(ε>0ΛN>0Λn>N)→|an-A|<ε) ⇔ ∀ε∃Nε∀n(ε>0ΛNε>0Λn>Nε)→|an-A|<sε)
只需从 $表达式3 证明 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2HkuMSFo-1649441022245)(https://cdn.nlark.com/yuque/latex/f091c772f83f3697605ecfdadca38edc.svg#card=math&code=%5Clim%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20a%7Bn%7D&id=i9ENi)]=A 即可
ε 本身就是一个ε→0的无穷小,当然sε不能取的这么特殊
为简化证明,先声明如下约定
约定1
将 表达式1 简写为 (ε,N ) → |an-A| <ε
将 表达式3 简写为 (ε,N ) → |an-A| <sε
在 表达式 (ε,N ) → |an-A| <ε 中,尽管N是根据ε来找的,但 ε,N都是自由变元(即替换为其他符号不会改变表达式的意思)
T1: 对于一个确定的ε, 要想办法找到一个N使得 |an-A| <ε
可将 表达式 (ε,N ) → |an-A| <sε 翻译为下面的形式
P0: (ε,N0) → |an-A|<s(ε)
P1：(ε/10,N1) → |an-A|<s(ε/10)
…
Pk: (ε/10k , Nk)→ |an-A|< s(ε/10k)
Pk的意思是 n> Nk → |an-A|< s(ε/10k)
T2:目前k是变化的如果能找到一个k，能让它的 s(ε/10k)<ε ,那么T1中要找的N取Nk即可
limε→0s(ε)\lim_{ε \to 0} s{(ε)}limε→0s(ε)=0 → ∀ε ∃δ（|x-0|<δ → |s(x)-0|<ε)→∀ε∃k s(ε/10k)<ε
取P0中的ε,则∃δ使得 |x-0|<δ → |s(x)-0|<ε
因为对于上一步中的δ, ∃k使得 |ε/10k -0| <δ, 比如取k=[(-εlog10δ )/2]
所以有 |s(ε/10k)-0|=s(ε/10k)<ε
取 N=max(N1,N2,…Nk）(这个就是T1中想要找的一个N) 则有
n > N ≥ Nk → |an-A|< s(ε/10k) <ε
即
(ε,N ) → |an-A|< s(ε/10N) <ε ⇒ [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-j8u8EoNB-1649441022246)(https://cdn.nlark.com/yuque/latex/f091c772f83f3697605ecfdadca38edc.svg#card=math&code=%5Clim%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20a%7Bn%7D&id=NA9V5)]=A
解释一下这个证明
A1: ε 是P0给出的, 一旦给出则将它固定不变
A2： 从 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-VoMvBU5N-1649441022247)(https://cdn.nlark.com/yuque/_latex/a0c1d99c1d035922aeb7c7b29f98ec0c.svg#card=math&code=%5Clim%7Bx%20%5Cto%200%7D%20s%7B%28x%29%7D&id=JTx0u)]=0 与 A1 中的ε可以找到一个 δ
A3: 从 A2 中的 δ 可以找到一个k
A4: 从A3中的k 与表达式Pk 可以找到一个Nk
A5： T1中要找的N取 Nk或者 max(N1,N2,…Nk）就行
极限存在,说明有办法通过一个ε 来找 N或δ, 虽然找的办法千差万别,总归是存在一个办法来找N或δ
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