整数的取值范围及依据；二进制码中负数如何表示？

整数的取值范围
二进制码中负数如何表示
二进制码采用补码形式的好处
2的补码的本质

整数的取值范围

整数数据类型包括：byte、short、int、long四种类型，以下分别为各类型取值范围：
byte 的取值范围为-128~127（-2⁷至2⁷-1），占1个字节（8位）；
short 的取值范围为-32768~32767（-2¹⁵至2¹⁵-1），占用2个字节（16位）；
int 的取值范围为-2147483648~2147483647（-2³¹至2³¹-1），占用4个字节（32位）；
long 的取值范围为-9223372036854774808~9223372036854774807（-2⁶³至2⁶³-1），占用8个字节（64位）。

二进制码中负数如何表示

在二进制码中，为了区分正负数，采用最高位是符号位的方法来区分，正数的符号位为0、负数的符号位为1。剩下的就是这个数的绝对值部分（即去掉最高位的部分），可以采用原码、反码、补码3种形式来表示绝对值部分。

原码度最简单，也最好理解。原码就是绝对值的二进制数形式：例如+7的8位二进制原码是0000111，-7的8位二进制原码是10000111。

ps:了解到这里就可以计算各整数类型取值范围了，以byte类型为例，虽然byte类型有8位，但第一位为符号位而不是数值，所以其最大值为01111111（十进制即127），最小值为11111111（十进制即-128）

对于二进制运算而言，原码的运算不够方便，当两个数相加时，先要判断这两个数的回符号是否相同，符号不同的话，还要判断哪一个数的绝对值更大。所以在计算机中，通常都是采用补码形式。

正整数的补码与原码形式相同，例如+7的8位二进制补码是00000111；而负整数的补码则可以通过下列方式得到：将这个负整数的绝对值（对于8位二进制码，即后7位）求反（即0变1，1变0）后加1，连同符号位1一起表示就可以了。例如-7的8位二进制补码：将-7的绝对值7求反加1得1111001，连同符号位1一起就是11111001。下面详细阐述负数采用补码形式的好处。

以下内容的原文链接，本文更改了一些细节。
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二进制码采用补码形式的好处

首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。

2的补码（即二进制码采用补码形式）就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

以-8作为例子。假定有两种表示方法。一种是原码表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？

随便写一个计算式，16 + (-8) = ?

16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：

０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
　１００１１０００

可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。

现在，再来看2的补码表示法。

０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００

可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

2的补码的本质

在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。

要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。

已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－

因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。

所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：

１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１１０００

进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：

１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
　１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
　１１１１１０００

2的补码的两个转换步骤就是这么来的。

为什么正数加法适用于2的补码？

实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。

Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：

X + (11111111-Y) + 1

我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1

接下来，分成两种情况讨论。

第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，

Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y

第二种情况，如果X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，

Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y

这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。
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