算法简介

与平滑指数法，移动平均法一样，自适应过滤法也是一种预测时间序列的方法。但相较于前两者，自适应过滤法有着可以对参数进行调整的优点。他可以根据前若干个数据，来不断地尝试算出与后一个数相同的结果。故相对与平滑指数法以及移动平均法，可以更好地对时间序列进行拟合。此外，自适应过滤法思路简单，所以相对容易实现，可以在数据比较平稳的情况下使用。

本文将以上海财经大学出版社《统计预测和决策》中的【例6-1】为例，对该算法进行讲解。

算法思路

该算法首先需要构造线性的预测模型，之后确定权重个数以及权重初始值，并根据权重及线性预测模型计算预测值，并计算该预测值与真实值间的误差，之后再根据误差，前p个值组成的向量及他们所构成的迭代函数来对权重进行调整，知道第p个值为0.

参数确定

首先，我们假设有一组时间序列为
x0,x1,x2,...,xtx_{0},x_{1},x_{2},...,x_{t} x0,x1,x2,...,xt
之后，我们确定权重个数p(p<t)，在本例中，p取2。然后，我们通过权重个数以及时间序列的前p大的数据来确定学习函数：
k=1[∑i=0p−1x^i2]maxk=\frac{1}{[\sum^{p-1}_{i=0}\hat{x}^2_i]_{max}} k=[∑i=0p−1x^i2]max1
在这里，我们需要对原始时间序列进行一个排序，然后取最大的p个值。

然后，我们设权重向量为ϕ\boldsymbol{\phi}ϕ，其每一个元素的初始值为1p\frac{1}{p}p1，在本例中，权重向量为[0.5,0.5][0.5,0.5][0.5,0.5]

构建预测模型

我们将权重与对应前p个未知数相乘，得到预测模型：xp=∑i=0p−1ϕixix_{p}=\sum^{p-1}_{i=0}\phi_{i}x_{i}xp=i=0∑p−1ϕixi在本例中，其预测模型为x^2=0.5x0+0.5x1\hat{x}_{2}=0.5x_{0}+0.5x_{1}x^2=0.5x0+0.5x1

损失函数

在这里，我们将损失函数定义为时间序列的第p个值，既ptp_{t}pt，减去预测值
ep=xp−x^pe_{p}=x_{p}-\hat{x}_{p}ep=xp−x^p
当然，你也可以使用MSE(标准均方误差)为损失函数

迭代条件

当epe_{p}ep小于设定阈值(本例选择0.001，当然也可以不设置，即阈值为0）当前迭代次数epoch小于最大迭代数max_epoch(这里选择为100)时，进行迭代运算。

调整后的第i个权重为:ϕi′=ϕi+2kepxp−i\phi^{'}_{i}=\phi_{i}+2ke_{p}x_{p-i}ϕi′=ϕi+2kepxp−i

程序代码

"""
Created on Thu Oct  27 13:55:00 2021@author: Joseph.chunfai.Lai
上海財經大學出版社 《統計預測與決策（第五版）》 例6-1"""'''引入相關的庫'''
import numpy as npclass AFM:def __init__(self, Data, P=2):self.Data = Dataself.Data_sort = np.sort(Data)[::-1]self.P = P  # 權重數self.K = K = 1 / np.sum((self.Data_sort[0] ** 2, self.Data_sort[1] ** 2))  # 學習係數/學習率self.threshold = 0.001  # 損失函數閾值self.Max_epoch = 100  # 最大迭代次數phi = []# 初始參數for i in range(2):phi.append(1 / self.P)self.phi = np.array(phi)def Error(self, x_predict, x_target):return x_target - x_predictdef Cal_weight(self):iter_epoch = 0X_predict = np.dot(self.phi, self.Data[0:2])# print(X_predict)error = self.Error(X_predict, self.Data[self.P])# print(error)# print(Data[0:2][::-1])# 開始迭代while (np.abs(error) > self.threshold) and (iter_epoch < self.Max_epoch):  # 終止條件為誤差小於設定閾值或大於等於最大迭代次數，根據De# Morgen定律 ,執行條件為誤差大於閾值且當前迭代次數小於最大迭代次數x_predict = np.dot(self.phi, self.Data[0:2])  # 計算預測值error = self.Error(x_predict, self.Data[self.P])  # 計算誤差self.phi = self.phi + 2 * self.K * error * self.Data[0:self.P][::-1]iter_epoch = iter_epoch + 1print('第{}輪迭代,誤差為{:.2f}'.format(iter_epoch, error))print('算得調整後的權重為: \n', self.phi)return self.phiif __name__ == "__main__":Data = np.array([43, 45, 48, 50, 53])Phi = AFM(Data, P=2).Cal_weight()print('Success!')

参考资料

[1]：徐国祥.统计预测和决策(第五版).上海财经大学出版社

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