序

转眼间到了大三年级的暑假了，由于不考研，想起前面三年中仍有部分课程学的一塌糊涂或者没有悟通，便萌生了重新学习的念头。发布在这里既可以作为笔记方便自己和他人的复习和借鉴，也起到了督促我不断学习发文的作用。

《信号与系统》作为电子通信类专业的主干课程，其地位不言而喻，无论是考研还是保研中的专业课面试，这门课都十分重要。我虽然期末考得了96分，但我仍以为怕是连门都没有入。教材的选择很重要，这里选择的教材是“信号与系统”经典系列的开山鼻祖奥本海姆所著第二版英文版Signals and Systems。

为什么选择英文版？

其一，众所周知，研究生面试的时候，考官是十分看重考生的英文实力的。有时会拿出英文原版教材中的一句话让考生当场翻译（据我所知很多学校这么干），所以我会整理出来一些生词难词供大家学习。不仅是这门课，在一些其他的课程中这些单词也会频繁出现。

其二，英文原版可读性更强。我读过一些英文原版教材，包括微积分、场波、概率论等等，也看过对应翻译的文献，发现总是缺少那么一点味道。后来我发现缺少的是一种英语思维，这在以后阅读英文文献的时候也是极为重要的。所以强烈推荐有能力的同学啃一啃原版教材，多多益善。

废话不多说了，开始读书。

信号的基本概念

连续时间 (continuous-time) 信号和离散时间 (discrete-time) 信号

连续时间信号：自变量连续，用 x(t) 表示（parentheses）
离散时间信号/序列（sequence）：自变量不连续，例如日期、年份等等，用 x[n] 表示 (brackets)，n是整数
一些专业书中会淡化这个notation（比如程佩青的数字信号处理一书中会写成 x(n)。

二者关系：离散信号是对连续信号的采样 (sampling) 得到的。（第7章内容）

信号的基本运算

信号能量
E∞[x(t)]=∫−∞∞∣x(t)∣2dt.E_\infty[x(t)] = \int_{ - \infty }^\infty \left| x(t)\right|^2dt\,. E∞[x(t)]=∫−∞∞∣x(t)∣2dt.
E∞[x[n]]=∑n=−∞∞∣x[n]∣2.E_\infty[x[n]] = \sum_{ n=- \infty }^\infty \left| x[n]\right|^2\,. E∞[x[n]]=n=−∞∑∞∣x[n]∣2.
信号功率
P∞[x(t)]=lim⁡T→∞12T∫−TT∣x(t)∣2dt.P_\infty[x(t)] = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{2T} \int_{ - T }^T \left| x(t)\right|^2dt\,. P∞[x(t)]=T→∞lim2T1∫−TT∣x(t)∣2dt.
P∞[x[n]]=lim⁡N→∞12N+1∑n=−NN∣x[n]∣2.P_\infty[x[n]] =\lim_{N \rightarrow \infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{ n=- N }^N \left| x[n]\right|^2\,. P∞[x[n]]=N→∞lim2N+11n=−N∑N∣x[n]∣2.

信号的简单变换 (transformation)

时移 (time shift): x[n−n0]x[n-n_0]x[n−n0] 和 x(t−t0)x(t-t_0)x(t−t0)，左加右减

翻转 (time reversal): x[−n]x[-n]x[−n] 和 x(−t)x(-t)x(−t)

伸缩 (time scaling): x(t)x(t)x(t) 、 x(2t)x(2t)x(2t)、 x(12t)x(\frac{1}{2}t)x(21t) 特点：乘一个绝对值大于1的数为压缩 (compress)，乘一个绝对值小于1的数为伸长 (stretch)

周期 (periodical) 信号

对周期的连续时间信号而言，对任意时间 ttt ，存在一个正数 TTT 使得 x(t)=x(t+T)x(t)=x(t+T)x(t)=x(t+T) 。满足这个条件的最小正数 T0T_0T0 称为基本周期 (fundamental period) 。

对周期的离散时间信号而言，对任意时间 nnn ，存在一个正整数 NNN 使得 x[n]=x[n+N]x[n]=x[n+N]x[n]=x[n+N] 。满足这个条件的最小正整数 N0N_0N0 称为基本周期 (fundamental period) 。

奇 (odd) 偶 (even) 信号

奇信号：x[n]=−x[−n]x[n]=-x[-n]x[n]=−x[−n], x(t)=−x(−t)x(t)=-x(-t)x(t)=−x(−t) 特点：奇信号在原点处值为 000。

偶信号：x[n]=x[−n]x[n]=x[-n]x[n]=x[−n], x(t)=x(−t)x(t)=x(-t)x(t)=x(−t)

任意一个信号都可以被分解为一个奇信号和一个偶信号的和，其中，
偶部分 (even part) 为Ev[x(t)]=12[x(t)+x(−t)]Ev[x(t)]=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]Ev[x(t)]=21[x(t)+x(−t)]
奇部分 (odd part) 为Od[x(t)]=12[x(t)−x(−t)]Od[x(t)]=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]Od[x(t)]=21[x(t)−x(−t)]

几种基本信号

指数 (exponential) 和正弦 (sinusoidal) 信号

一、连续时间复指数信号 (complex exponential signal) 的表示形式：x(t)=Ceatx(t)=Ce^{at}x(t)=Ceat
其中 CCC，aaa 可以是任意复数。

CCC，aaa 是实数 (real) 时，C>0C>0C>0时，若 a>0a>0a>0 ，递增；若 a<0a<0a<0 ，递减。
aaa 是纯虚数 (purely imaginary)时，则 x(t)=ejω0tx(t)=e^{j\omega_0t}x(t)=ejω0t。这是一个周期信号，可以证明基本周期 T0=2π∣ω0∣T_0=\frac{2\pi}{\left| \omega_0 \right|}T0=∣ω0∣2π所以 ejω0te^{j\omega_0t}ejω0t 和 e−jω0te^{-j\omega_0t}e−jω0t 具有相同的基本周期，∣ω0∣\left| \omega_0 \right|∣ω0∣ 称为基频 (fundamental frequency)。
指数和正弦的关系：欧拉公式（Euler’s relation）
指数 -> 正弦ejω0t=cos⁡ω0t+jsin⁡ω0te^{j\omega_0t}=\cos\omega_0t+j\sin\omega_0tejω0t=cosω0t+jsinω0t
正弦 -> 指数Acos⁡(ω0t+ϕ)=A2ejϕejω0t+A2e−jϕe−jω0tA\cos(\omega_0t+\phi)=\frac{A}{2}e^{j\phi}e^{j\omega_0t}+\frac{A}{2}e^{-j\phi}e^{-j\omega_0t}Acos(ω0t+ϕ)=2Aejϕejω0t+2Ae−jϕe−jω0t

谐波关系的复指数集 (harmonically related complex exponentials)：周期的指数集，其中的所有指数都以T0T_0T0为周期（并非最小/基本周期）。这样的指数集可以表示为ϕk(t)=ejkω0t,k=0,±1,±2,...\phi_k(t)=e^{jk\omega_0t},k=0,\pm1,\pm2,...ϕk(t)=ejkω0t,k=0,±1,±2,...
可以看到，k次谐波仍然以T0T_0T0为周期，其中包括了k个基本周期。
CCC，aaa 都是虚数，则x(t)=Ceat=∣C∣ejθ∗e(r+jω0)t=∣C∣ert∗ej(ω0t+θ)x(t)=Ce^{at}=\left| C \right|e^{j\theta}*e^{(r+j\omega_0)t}=\left| C \right|e^{rt}*e^{j(\omega_0t+\theta)}x(t)=Ceat=∣C∣ejθ∗e(r+jω0)t=∣C∣ert∗ej(ω0t+θ)

二、离散时间复指数信号/序列 (complex exponential signal/sequence) 的表示形式：x[n]=Cαnx[n]=C\alpha^nx[n]=Cαn
其中 CCC，α\alphaα 可以是任意复数。系数的3种情况与连续时间信号相同，不再赘述。

连续与离散的不同点：

由于 ej(ω0+2π)n=ejω0ne^{j(\omega_0+2\pi)n}=e^{j\omega_0n}ej(ω0+2π)n=ejω0n 恒成立，所以只需要考虑 2π2\pi2π 的频率区间长度就可以知道任意频率的情况，这也是数字信号处理中常常选择频率区间为 (0,2π)(0,2\pi)(0,2π) 的原因。其中，0、2π2\pi2π 处为低频分量，π\piπ 处为高频分量。对于 ϕk[n]=ejk(2π/N)n\phi_k[n]=e^{jk(2\pi/N)n}ϕk[n]=ejk(2π/N)n，只有N个不同的值。由于其基本周期为N，其他均可由周期性推出。
与连续时间信号不同，离散时间序列的振荡频率与 ω0\omega_0ω0 模的大小无关。
离散时间序列周期的计算方式与连续时间信号不同。

单位冲激 (unit impulse) 函数和单位阶跃 (unit step) 函数

离散：
单位冲激信号
δ[n]={0,n≠01,n=0\delta[n]=\left\{ \begin{aligned} 0,n\ne0\\ 1,n=0 \end{aligned} \right. δ[n]={0,n=01,n=0

单位阶跃信号
u[n]={0,n<01,n≥0u[n]=\left\{ \begin{aligned} 0,n<0\\ 1,n\ge0 \end{aligned} \right. u[n]={0,n<01,n≥0

二者关系：
δ[n]=u[n]−u[n−1]\delta[n]=u[n]-u[n-1]δ[n]=u[n]−u[n−1]
u[n]=∑m=−∞nδ[m]u[n]=\sum_{ m=- \infty }^n\delta[m]u[n]=m=−∞∑nδ[m]或u[n]=∑m=0∞δ[n−m]u[n]=\sum_{ m=0 }^ \infty\delta[n-m]u[n]=m=0∑∞δ[n−m]
后一个公式可以这样理解：δ[n−m]\delta[n-m]δ[n−m]在n=mn={m}n=m时取值为1，如果n∈[0,+∞)n\in[0,+\infin)n∈[0,+∞)，则一定会被求和所包含，所以值为1，反之为0。

单位冲激信号的采样特性：
x[n]δ[n−n0]=x[n0]δ[n−n0]x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0]x[n]δ[n−n0]=x[n0]δ[n−n0]

连续：
单位阶跃信号
u(t)={0,t<01,t>0u(t)=\left\{ \begin{aligned} 0,t<0\\ 1,t>0 \end{aligned} \right. u(t)={0,t<01,t>0在t=0处不连续

单位冲激信号（狄拉克函数）
注意箭头和表示冲激面积的“1”

性质：
∫−∞+∞δ(t−t0)x(t)dt=x(t0)\int_{-\infin}^{+\infin}\delta(t-t_0)x(t)dt=x(t_0)∫−∞+∞δ(t−t0)x(t)dt=x(t0)
二者关系：
u(t)=∫−∞tδ(τ)dτ=∫0∞δ(t−τ)dτu(t)=\int_{-\infin}^{t}\delta(\tau)d\tau=\int_{0}^{\infin}\delta(t-\tau)d\tauu(t)=∫−∞tδ(τ)dτ=∫0∞δ(t−τ)dτ
δ(t)=du(t)dt\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}δ(t)=dtdu(t)
采样特性：
x(t)δ(t−t0)=x(t0)δ(t−t0)x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)x(t)δ(t−t0)=x(t0)δ(t−t0)

系统的性质

无记忆性 (memoryless)
系统在某一时刻的输出只由该时刻的输入信号决定。反之为有记忆系统。例如 y[n]=(2x[n]−x2[n])2y[n]=(2x[n]-x^2[n])^2y[n]=(2x[n]−x2[n])2是无记忆系统，y[n]=y[n−1]+x[n]y[n]=y[n-1]+x[n]y[n]=y[n−1]+x[n]是有记忆系统。
可逆性 (invertible)
存在一个与原系统级联的系统，使其输出恰为原系统的输入x[n]x[n]x[n]。通信中编码系统必须是可逆的，否则无法复原所要传输的信息。
因果性 (causality)
输出只取决于当前和过去的输入（输入不超前于输出）。例如系统 y(t)=x(t+1)y(t)=x(t+1)y(t)=x(t+1)就不具备因果性，而y(t)=x(t)cos⁡(t+1)y(t)=x(t)\cos(t+1)y(t)=x(t)cos(t+1)是因果系统。所有的无记忆系统都是因果的。
稳定性（stability）
如果输入是有界的 (bounded)，则输出也是有界的。
证明一个系统不稳定的方法：代入一个有界的输入，得到的输出不是有界的。
证明一个系统稳定，要从上面的定义入手。
时不变性 (time invariance)
系统的行为和特性不随时间发生变化，即输入信号的时移会造成输出信号产生同样大小的时移
证明一个系统具有时不变性：
已知 x1(t)→y1(t)x_1(t)\rarr{y_1(t)}x1(t)→y1(t)，令x2(t)=x1(t−t0)x_2(t)=x_1(t-t_0)x2(t)=x1(t−t0)，验证 y2(t)?=y1(t−t0)y_2(t)?=y_1(t-t_0)y2(t)?=y1(t−t0).
线性 (linearity)
线性可以理解为叠加性 (superposition) 和齐次性 (homogeneity) 的组合，即如果
x1→y1,x2→y2x_1\rarr{y_1}, x_2\rarr{y_2}x1→y1,x2→y2，那么ax1+bx2→ay1+by2ax_1+bx_2\rarr{ay_1+by_2}ax1+bx2→ay1+by2，这里a, b可以是复数。
由叠加性可知，如果系统输入为0时，输出不为0，则该系统是非线性的。

【朝花夕拾系列一】信号与系统（奥本海姆）第一章相关推荐

信号与系统奥本海姆第二版_【中山大学电通信通信号与系统考研】自编的两张小卡片带大家整理一下《奥本海姆·信号与系统》的知识架构...
建议有时间的同学看看以下的视频,讲解的比文章详细些. [中山大学信号与系统考研]<奥本海姆·信号与系统>教材读不下去?抓不住重点?自编的两张小卡片带大家整理一下知识架构.考研的,本科学习的 ...
z变换判断稳定性和因果性_信号与系统(奥本海姆)
以奥本海姆第二版作为知识节划分,结合书来阅读.作为书的补充说明信号: CT/DT ,real/complex, periodic/aperiodic,causal/anti-casual bound ...
信号与系统奥本海姆pdf_2019上海交通大学819信号系统与信号处理考研初/复试经验...
初试: 关于信号与系统,这门课非常基础,但是知识点也是非常细致的,复习的时候一定要细心,而且我建议郑君里的书一定要多看几遍,所谓"书读百遍其义自见",多看几遍书之后对你再回头去做题 ...
matlab实验与系统信号实验二,信号与系统上机实验-matlab(第一第二次实验课)new
<信号与系统上机实验-matlab(第一第二次实验课)new>由会员分享,可在线阅读,更多相关<信号与系统上机实验-matlab(第一第二次实验课)new(13页珍藏版)>请在 ...
《信号与系统》解读第4章连续信号的离散化：采样与采样定理、奈奎斯特准则、脉冲编码调制PCM
前言: 如果你对采样定理和奈奎斯特准则一知半解,本文将给茅塞顿开. 如果你对为什么采样频率必须大于等于原始信号的带宽的2倍,本文将给你答案. 目录 1. 信号与系统的模型 2. 为什么要对连续信号离散 ...
【系统架构设计师】第一章：操作系统（1.1.1---1.1.2）操作系统的分类和结构
好久不见了.最近由于忙着期末考试,所以一直没更新帖子,最近考完了,我又回来了. 很久不动笔了,突然很手痒,但是又一直在纠结写什么. 原计划要写kali的从零开始的教程,不过仔细想想其实那个并没有系统架 ...
【系统架构设计师】第一章：操作系统（1.2.2）信号量与pv操作
本篇帖子继续上篇.有兴趣可以点击链接进行查看以前写过的文章. [系统架构设计师]第一章:操作系统(1.2.2) 参考教材: <系统架构设计师考试全程指导(第二版)> <系统架构设计师 ...
信号与系统学习笔记第三章
第三章周期信号的傅里叶级数表示下面将讨论信号与线性时不变系统的另一种表示,讨论的出发点仍是将信号表示成一组基本信号的线性组合.这是因为,将信号表示成基本信号的线性组合是有利的,如果基本信号具有一下 ...
《信号与系统》解读第3章强大的傅里叶时域频域分析工具-4：傅里叶运算的5大主要特性
前言: 傅里叶变换是属于"信号与系统"的"系统"部分,它是对输入的时域信号进行处理,然后得到频率信号.本质上是一种数学运算. 从傅里叶数学运算总体的效果上,傅里 ...

【朝花夕拾系列一】信号与系统（奥本海姆）第一章

序