切蛋糕能最多切多少块的问题

2024-05-10 05:19:41

本文只说明垂直桌面切的水平情况，不讨论空间问题。

Problem Description

一个人在吃蛋糕前都会随机决定要切几刀，而且保证切完之后得到最多块蛋糕（只能垂直于底面切）。有时候切得太多他自己都忘记掉切完有几块，为了确保他能吃到整个蛋糕，他得知道切完后的蛋糕的数量。

formulation

先给出公式：(result是蛋糕块数，n是刀数)

result = (n+1)*n/2 + 1

Analyze

（0）切割0次：1块
（1）切割1次：2块
（2）切割2次：4块

这应该是我们所有人都能想到的两次切割得最大块数的方法了。

（3）切割3次：7块

（3）切割4次：11块

好，我们发现了什么？

我们第 n 刀切下去，某一直线就会牵涉到 n+1 块蛋糕，而将这 n+1 块蛋糕切开，我们就又多了 n+1 块。

比如切1刀后，在一条（其实有很多条）直线上是不是牵涉了2块蛋糕？
切的第2刀，将这2块蛋糕切成4块（2+2），总共有4块蛋糕（2+2），现在又有直线牵涉了3块蛋糕；
切的第3刀，将这3块蛋糕切成6块（3+3），总共有7块蛋糕（4+3），现在又有直线牵涉了4块蛋糕；
切的第4刀，将这4块蛋糕切成8块（4+4），总共有11块蛋糕（7+4），现在又有直线牵涉了4块蛋糕；
…
只要我们沿着找出的这条直线切下去，就能一直得到最大块数。

所以切第n刀后最大块数=
n + (n-1) + (n-2) + … + 1 + 1 = (n+1)*n/2 + 1

**tips:**别忘了切0刀时还有1块哦！

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