12 Python总结之蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟是金融学和数值科学中最重要的算法之一。它之所以重要，是因为在期权定价或者风险管理问题上有很强的能力。和其它数值方法相比，蒙特卡洛方法很容易处理高维问题，在这种问题上复杂度和计算需求通常以线性方式增大。
蒙特卡洛方法的缺点是：它本身是高计算需求的，即使对于相当简单的问题也往往需要海量的计算。因此，必须高效的实现蒙特卡洛算法。
下面使用不同的方法实现蒙特卡洛算法
1.Scipy
2.纯Python
3.向量化Numpy
4.全向量化Numpy
方法一：Scipy
欧式看涨期权的定价公式Black-Scholes-Merton(1973):
其中：
C—期权初始合理价格
L—期权交割价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ2—年度化方差
N()—正态分布变量的累积概率分布函数
# 导用到的库
from math import log, sqrt, exp
from scipy import stats
# 期权的定价计算,根据公式１．
def bsm_call_value(S_0, K, T, r, sigma):S_0 = float(S_0)d_1 = (log(S_0 / K) + (r + 0.5 *sigma **2) *T)/(sigma * sqrt(T))d_2 = (log(S_0 / K) + (r - 0.5 *sigma **2) *T)/(sigma * sqrt(T))C_0 = (S_0 * stats.norm.cdf(d_1, 0.0, 1.0) - K * exp(-r * T) * stats.norm.cdf(d_2, 0.0, 1.0))return C_0
# 计算的一些初始值
S_0 = 100.0 # 股票或指数初始的价格;
K = 105 # 行权价格
T = 1.0 # 期权的到期年限(距离到期日时间间隔)
r = 0.05 # 无风险利率
sigma = 0.2 # 波动率(收益标准差)
# 到期期权价值
%time print (bsm_call_value(S_0, K, T, r, sigma))
8.021352235143176
Wall time: 511 µs
方法二：Python
下面的计算仍基于BSM(balck-scholes-merton),模型中的高风险标识(股票指数)在风险中立的情况下遵循以随机微分方程(SDE)表示的布朗运动．
# 导入python模块
from time import time
from math import exp, sqrt, log
from random import gauss, seed
seed(2000)
# 计算的一些初始值
S_0 = 100.0 # 股票或指数初始的价格;
K = 105 # 行权价格
T = 1.0 # 期权的到期年限(距离到期日时间间隔)
r = 0.05 # 无风险利率
sigma = 0.2 # 波动率(收益标准差)
M = 50 # number of time steps
dt = T/M # time enterval
I = 20000 # number of simulation
start = time()
S = [] #
for i in range(I):path = [] # 时间间隔上的模拟路径for t in range(M+1):if t==0:path.append(S_0)else:z = gauss(0.0, 1.0)S_t = path[t-1] * exp((r-0.5*sigma**2) * dt + sigma * sqrt(dt) * z)path.append(S_t)S.append(path)
# 计算期权现值
C_0 = exp(-r * T) *sum([max(path[-1] -K, 0) for path in S])/I
total_time = time() - start
print ('European Option value %.6f'% C_0)
print ('total time is %.6f seconds'% total_time)
European Option value 8.159995
total time is 1.616999 seconds
前三十条模拟路径
# 选取部分模拟路径可视化import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.figure(figsize=(10,7))
plt.grid(True)
plt.xlabel('Time step')
plt.ylabel('index level')
for i in range(30):plt.plot(S[i])
方法三： 向量化的Numpy
使用numpy的一些数组，来减少运算
# 导入模块
import numpy as np
from time import time
# 计算的一些初始值
S_0 = 100.0 # 股票或指数初始的价格;
K = 105 # 行权价格
T = 1.0 # 期权的到期年限(距离到期日时间间隔)
r = 0.05 # 无风险利率
sigma = 0.2 # 波动率(收益标准差)
M = 50 # number of time steps
dt = T/M # time enterval
I = 20000 # number of simulation
# 20000条模拟路径，每条路径５０个时间步数
S = np.zeros((M+1, I))
S[0] = S_0
np.random.seed(2000)
start = time()
for t in range(1, M+1):z = np.random.standard_normal(I)S[t] = S[t-1] * np.exp((r- 0.5 * sigma **2)* dt + sigma * np.sqrt(dt)*z)
C_0 = np.exp(-r * T)* np.sum(np.maximum(S[-1] - K, 0))/I
end = time()
# 估值结果
print ('total time is %.6f seconds'%(end-start))
print ('European Option Value %.6f'%C_0)
total time is 0.039680 seconds
European Option Value 7.993282
前２０条模拟路径
# 前２０条模拟路径
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.figure(figsize=(10,7))
plt.grid(True)
plt.xlabel('Time step')
plt.ylabel('index level')
for i in range(20):plt.plot(S.T[i])
到期指数模拟水平
# 到期时所有模拟指数水平的频率直方图
%matplotlib inline
plt.hist(S[-1], bins=50)
plt.grid(True)
plt.xlabel('index level')
plt.ylabel('frequency')
Text(0, 0.5, 'frequency')
到期期权内在价值
# 模拟期权到期日的内在价值
%matplotlib inline
plt.hist(np.maximum(S[-1]-K, 0), bins=50)
plt.grid(True)
plt.xlabel('option inner value')
plt.ylabel('frequency')
Text(0, 0.5, 'frequency')
方法四：全向量化的Numpy
import numpy as np
from time import time
# 计算的一些初始值
S_0 = 100.0 # 股票或指数初始的价格;
K = 105 # 行权价格
T = 1.0 # 期权的到期年限(距离到期日时间间隔)
r = 0.05 # 无风险利率
sigma = 0.2 # 波动率(收益标准差)
M = 50 # number of time steps
dt = T/M # time enterval
I = 20000 # number of simulation
np.random.seed(2000)
start = time()
# 生成一个随机变量的数组，M+1行，I列
# 同时计算出没一条路径，每一个时间点的指数水平的增量
# np.cumsum(axis=0)，在列的方向上进行累加得到每一个时间步数上的指数水平
S = S_0 * np.exp(np.cumsum((r - 0.5*sigma **2) *dt +sigma *np.sqrt(dt) *np.random.standard_normal((M+1, I)),axis=0))
S [0] = S_0
C_0 = np.exp(-r * T) * np.sum(np.maximum(S[-1] - K, 0))/I
end = time()
print ('toatl time is %.6f seconds'%(end-start))
print ('Europaen Option Value %.6f'%C_0)
toatl time is 0.077348 seconds
Europaen Option Value 8.113643
前２０条模拟路径
# 前２０条模拟路径
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.figure(figsize=(10,7))
plt.grid(True)
plt.xlabel('Time step')
plt.ylabel('index level')
plt.plot(S[:,:20])
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9a400>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9a550>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9a6a0>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9a7f0>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9a940>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9aa90>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9abe0>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9ad30>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9ae80>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca9afd0>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fca62780>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa1278>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa13c8>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa1518>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa1668>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa17b8>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa1908>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa1a58>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa1ba8>,<matplotlib.lines.Line2D at 0x201fcaa1cf8>]
模拟到期指数水平
# 到期时所有模拟指数水平的频率直方图
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.hist(S[-1], bins=50)
plt.grid(True)
plt.xlabel('index level')
plt.ylabel('frequency')
Text(0, 0.5, 'frequency')
模拟到期期权内在价值
# 模拟期权到期日的内在价值
%matplotlib inline
plt.hist(np.maximum(S[-1]-K, 0), bins=50)
plt.grid(True)
plt.xlabel('option inner value')
plt.ylabel('frequency')
Text(0, 0.5, 'frequency')
sum(S[-1] < K) # 在两万次模拟中超过一万次到期期权内在价值为０
10748
结果对比
1.Scipy,估值结果：8.021352，耗时：511 µs
2.Python,估值结果：8.159995，耗时：1.616999s
3.向量化Numpy,估值结果：7.993282，耗时：0.039680s
4.完全向量化Numpy,估值结果：8.113643，耗时：0.077348
Scipy，用时最短是因为，沒有进行20000次的模拟估值．其他三个方法进行了20000次的模拟，基于Numpy的计算方法速度比较快．
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