译者：大表哥、wiige来源：AI研习社

什么是蒙特卡罗模拟？

蒙特卡罗方法是一种使用随机数和概率来解决复杂问题的技术。蒙特卡罗模拟或概率模拟是一种技术，用于了解金融部门、项目管理、成本和其他预测机器学习模型中风险和不确定性的影响。风险分析几乎是我们做出的每一个决定的一部分，因为我们在生活中经常面临不确定性、模糊性和变化无常。此外，即使我们拥有前所未有的信息获取渠道，我们也不能准确预测未来。蒙特卡洛模拟使我们能够看到决策的所有可能结果，并评估风险影响，从而在不确定的情况下更好地做出决策。在本文中，我们将通过五个不同的例子来理解蒙特卡罗模拟方法。

应用领域：金融、项目管理、能量、制造业、工程学、研究和开发、保险、石油和天然气公司、交通、环境等。

举例:

• 抛硬币示例
• 用圆和平方估计PI
• 三门问题

• 蒲丰投针问题

• 为什么赌场总是赚的？

抛硬币示例  

抛硬币中奖的概率是1/2。但是，我们有没有办法从实验上证明这一点呢？在这个例子中，我们将使用蒙特卡罗方法迭代地模拟抛硬币5000次，以找出为什么头部或尾巴的概率总是1/2。如果我们重复抛硬币很多很多次，那么我们可以在概率值的准确答案上获得更高的精确度。在这个例子中，我们将使用Monte-Carlo方法反复模拟抛硬币5000次，以找出头部或尾部的概率始终是1/2的概率。正面和反面，数学表示在抛硬币时：正面和反面硬币的公式示例接下来，我们将用蒙特卡罗方法对这个公式进行实验证明。

Python实现：

1.导入所需的库：为我们的抛硬币示例导入所需的库2.投币功能：一个简单的函数，将结果随机排列在0和1之间，头部为0，尾部为13.检查函数输出：运行Coin_Flip()函数4.主要功能：计算概率并将概率值附加到结果5.调用main函数：调用Monte Carlo主函数，并绘制最终值如图8所示，我们显示在5,000次迭代之后，获得尾部的概率为0.502。因此，这就是我们可以如何使用蒙特卡罗模拟来通过实验找到概率的方法。

使用圆形和正方形估算PI

圆形和正方形的简单面积分别计算圆形和正方形的面积要估计PI的值，我们需要正方形的面积和圆的面积。为了找到这些区域，我们将在表面上随机放置点，并计算落在圆内的点和落在正方形内的点。这将给我们一个估计的面积。因此，我们将使用点数作为面积，而不是使用实际面积。在下面的代码中，我们使用Python的Turtle模块来查看点的随机放置。

python实现：

1.导入需要的库为我们的π示例导入所需的库2.可视化这些点：绘制图形3.初始化部分必填数据：初始化数据值4.主要功能：实现主功能5.绘制数据：绘制数据值6.输出图15：使用蒙特卡罗方法的π近似。值的数据可视化值的数据可视化如上图所示，我们可以看到，经过5000次迭代后，我们可以得到PI的近似值。另外，请注意，随着迭代次数的增加，估计误差也呈指数下降。

三门问题

假设你正在参加一个游戏节目，你可以从三扇门中选择一扇：一扇门后面是一辆汽车；另一扇门后面是山羊。你选了一扇门，假设是1号门，主人，谁知道门后面有什么，就打开另一扇门，比如说3号门，里面有一只山羊。主人然后问你：你是坚持自己的选择，还是选择另一扇门？ 选择不同的门对你有好处吗？  事实证明，从概率上说，打开门对我们有利。具体分析：导入所需库2. 初始化数据：初始化代表门的枚举变量和存储概率值的列表3. Main函数：用蒙特卡洛模拟来实现主函数.4. 调用main函数：调用主函数模拟1000次博弈5. 输出：得到坚持自己的选择或换门的近似获胜概率.在上图中，我们发现在1000次模拟后，如果我们换门，获胜概率是0.669。因此，我们确信在本例中换门对我们更有利.

蒲丰投针问题

法国贵族Georges-Louis Leclerc,即蒲丰公爵在1777年提出了这样一个问题：

若在一张绘有等距平行线的纸上随意抛一根短针，求针和任意一条线相交的概率

概率取决于方格纸的线间距(d)，和针长度(l)——或者说，它取决于l/d的比值。在这个例子里，我们可以认为针长度l≤d。简而言之，我们假设了针不能同时相交于两条不同的线。令人惊讶的是，蒲丰针问题的答案与PI相关。这里，我们将使用用蒙特卡洛法来解蒲丰投针问题，顺便估计出PI的值。不过在此之前，我们要先展示一下解法是如何推导出来的，这样会更有趣。

定理:

如果一根长为l的短针落在一张纸上，而纸上画有距离d≥l的等距线，那么针与任一条线相交的概率为:

蒲丰投针定理

证明:

蒲丰投针问题的可视化首先，我们需要统计出与任意垂线相交的针的数量。若针与任意一条线相交，对于特定的θ值，针与垂线相交的最大和最小可能值为：最大可能值:最大概率值2. 最小可能值:最小可能值因此, 对于特定的θ值，针在垂线上的概率是:针与垂线相交的概率公式这个概率公式局限于特定θ值，在本实验中，θ的范围是0到pi/2。所以，我们需要对所有的θ值做一个积分，得到投针相交的实际概率.对所有θ值积分的投针相交概率公式PI的估计值

由蒲丰投针问题来估计PI:

接下来，我们要用上面的公式来进行实验求得PI值.求PI值现在，因为我们已经知道了l和d的值，所以只要求得了P的值，我们就可以推知PI的值。而要得到概率P，必须要知道相交针数和总针数, 这里的总针数是已知的.下图是计算相交针数的直观图解.可视化表示如何计算针的数量

Python 实现:

1. Import 所需的库:

导入所需库2. Main 函数:用蒙特卡洛方法模拟蒲丰投针3. 调用main函数:调用main函数模拟蒲丰投针4. 输出:使用蒙特卡洛方法模拟100次投针的数据如上图所示，经过100次的模拟，蒙特卡洛法就能得出一个非常接近PI的值。

为什么赌场总是赚的？

赌场是怎么赚钱的？诀窍很简单--“你玩得越多，他们赚的就越多。” 让我们通过一个简单的蒙特卡罗模拟示例来看看这是如何工作的。考虑一个假想的游戏，玩家必须从一袋筹码中选择一个筹码。

规则：

1. 袋子里有数字从1到100的筹码。
2. 用户可以押注于偶数或奇数筹码。
3. 在这个游戏中，10和11是特殊的数字。如果我们赌偶数，那么10就算奇数，如果我们赌赔率，那么11就算偶数。
4. 如果我们赌偶数，我们得了10，那么我们就输了。
5. 如果我们赌的是奇数，我们得了11，那么我们就输了。

如果我们以赔率下注，我们获胜的概率为49/100。获胜的概率为51/100。因此，对于一个奇数下注，彩池优势为= 51 / 100–49 / 100 = 200/10000 = 0.02 = 2％如果我们打赌偶数，则用户获胜的概率为49/100。获胜的概率为51/100。因此，对于一个奇数下注，彩池优势为= 51 / 100–49 / 100 = 200/10000 = 0.02 = 2％综上所述，每下注1美元，就会有0.02美元下注。相比之下，轮盘上最低的单一0优势是2.5％。因此，我们可以肯定，与轮盘赌相比，您在假想的游戏中获胜的机会更大。

Python 实现

Import所需的库:导入赌场模拟所需的库2. 玩家下注:在下注奇数或偶数3. Main 函数:使用蒙特卡洛方法模拟赌场行为4. 最终输出:计算并展示计算结果5. 模拟1000次试试:模拟1000次6. 下注数 = 5图43:  下注5次时的结果可视化  .7.  下注数 = 10:图44: 下注10次时的结果可视化.8.  下注数 = 1000:下注1000次时的结果可视化  9.  下注数 = 5000:下注5000次时的结果可视化  10.  下注数 = 10000:下注10000次时的结果可视化从上面的实验中，我们可以看到，如果玩家在赌博中下注较少，那么有得赚的机会就比较大。有时候实验会得到负数，这意味着玩家输得倾家荡产负债累累，而不是单车变路虎.请注意, 这些比例源于为促进理解的非真实场景，认不赌为赢.

结论

就像任何预测模型一样 模拟结果只有我们的估计值才是好的 重要的是要记住，蒙特卡洛模拟只代表概率而不是确定性。尽管如此，在预测未知的未来时，蒙特卡洛模拟是一个有价值的工具。

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