C语言用更相减损术求最大公约数，最小公倍数

更相减损术
更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

出处
《九章算术》
用途
求最大公约数
作用
适用任何需要求最大公约数的场合

思想
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原文是：
可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

白话文译文：
（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

使用步骤
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。
若是，则用2约简；见例2
若不是则执行第二步。见例1
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法就是“更相减损”法。
简述为：
有两整数a和b：

① 若a>b，则a=a-b

② 若a<b，则b=b-a

③ 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数

④ 若a≠b，则再回去执行①

例如求27和15的最大公约数过程为：

27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )

12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )

6－3＝3( 3==3 )，多次重复辗转相减，(重复操作用循环) 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数。
先有个大概的了解，再结合代码，来细细体会。

#include<stdio.h>
main()
{   int a,b,num1,num2;printf("请输入这两个数：");scanf("%d %d",&a,&b);num1=a,num2=b;//在判断之前先把a,b存放在num1,num2里，求最小公倍数 // printf("a、b的最小公倍数为:%d",num1*num2/a);错在哪儿？错在最小公倍数的算法不知道 while(a!=b)/* a, b不相等，大数减小数，直到相等为止。*/ {if(a>b)a-=b;elseb-=a;}//a==b结束循环，根据更相减损术，若a==b,则a（或b）即为两数的最大公约数。printf("a、b的最大公约数为:%d\n",a);printf("a、b的最小公倍数为:%d",num1*num2/a);//最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数
}

知识小补丁：
求最小公倍数算法：
最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数

求最大公约数算法：
(1)辗转相除法

#include <stdio.h>
//程序分析：利用辗除法。
int main()
{   int a,b,num1,num2,temp;printf("please input two number:\n");scanf("%d%d",&num1,&num2);if(num1<num2)//比较大小，大做分母，小做分子{   temp = num1;//这是两个数比大小的经典算法num1 = num2;num2 = temp;}a = num1;//小者给ab = num2;//大者给bwhile(b!=0)/*利用辗除法，直到b为0为止*/{   temp = a%b;//这是重复取余的操作a=b;b=temp;}printf("公约数:%d\n",a);printf("公倍数:%d\n",num1*num2/a);
}

利用辗除法求最大公约数和最小公倍数：https://blog.csdn.net/YJG7D314/article/details/86760128

(2)更相减损术
例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7

例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。
解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。
此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即1322=52。

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