1、Dynamic Rankings

区间带修改的第 \(k\) 大需要用带修改主席树。

如果用平常的主席树的效率是多少呢？

查询 \(O(logn)\)，暴力修改 \(O(nlogn)\)，时间不支持

那么就需要平衡一下两者的时间复杂度

我们用树状数组套主席树，每次查询把 \(logn\) 个 \(rt\) 取出来，\(l-1\) 和 \(r\) 的 \(sum\) 相减一下，在值域进行 \(logn\) 的遍历，时间复杂度 \(O(nlog^2n)\)

int query(int l,int r,int k){if(l == r) return l;int x=0,mid=(l+r)>>1;for(int i=1;i<=cnt1;i++) x-=sum[L[lT[i]]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) x+=sum[L[rT[i]]];if(x >= k){for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=L[lT[i]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=L[rT[i]];return query(l,mid,k);}else {for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=R[lT[i]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=R[rT[i]];return query(mid+1,r,k-x);}
}

每次修改在树状数组上，遍历到一个点就 \(update\)，动态开点

void update(int &now,int l,int r,int x,int v){if(!now) now=++tot;sum[now]+=v;if(l == r) return ;int mid=(l+r)>>1;if(x <= mid) update(L[now],l,mid,x,v);else update(R[now],mid+1,r,x,v);
}void add(int x,int v){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))update(T[i],1,n,a[x],v);
}

每次修改要新开一条链上 \(logn\) 个结点，一共执行 \(logn\) 次，空间复杂度 \(O(nlog^2n)\)

不难证明时间复杂度 \(O(nlog^2n)\)

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int n,m,a[maxn],mp[maxn<<1],cnt;
int T[maxn],lT[maxn],rT[maxn],L[maxn*400],R[maxn*400],sum[maxn*400],tot,cnt1,cnt2;struct Query{int opt,l,r,k;
}q[maxn];inline int read(){register int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return (f==1)?x:-x;
}void update(int &now,int l,int r,int x,int v){if(!now) now=++tot;sum[now]+=v;if(l == r) return ;int mid=(l+r)>>1;if(x <= mid) update(L[now],l,mid,x,v);else update(R[now],mid+1,r,x,v);
}void add(int x,int v){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) update(T[i],1,cnt,a[x],v);
}int query(int l,int r,int k){if(l == r) return l;int x=0,mid=(l+r)>>1;for(int i=1;i<=cnt1;i++) x-=sum[L[lT[i]]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) x+=sum[L[rT[i]]];if(x >= k){for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=L[lT[i]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=L[rT[i]];return query(l,mid,k);}else {for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=R[lT[i]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=R[rT[i]];return query(mid+1,r,k-x);}
}int main()
{n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;i++) mp[++cnt]=a[i]=read();char ch;for(int i=1;i<=m;i++){ch=getchar();while(!isalpha(ch)) ch=getchar();q[i].opt=(ch=='Q')?1:2;if(q[i].opt==1) q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].k=read();else q[i].l=read(),mp[++cnt]=q[i].k=read();}sort(mp+1,mp+cnt+1);cnt=unique(mp+1,mp+cnt+1)-mp-1;for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(mp+1,mp+cnt+1,a[i])-mp,add(i,1);for(int i=1;i<=m;i++){if(q[i].opt==1){cnt1=cnt2=0;for(int j=q[i].l-1;j>0;j-=lowbit(j)) lT[++cnt1]=T[j];for(int j=q[i].r;j>0;j-=lowbit(j)) rT[++cnt2]=T[j];printf("%d\n",mp[query(1,cnt,q[i].k)]);}else {q[i].k=lower_bound(mp+1,mp+cnt+1,q[i].k)-mp;add(q[i].l,-1);a[q[i].l]=q[i].k;add(q[i].l,1);}}return 0;
}

2、 [CQOI2011]动态逆序对

先用树状数组求一下总的逆序对

然后每次就减去当前在 \([1,pos[x]-1]\) 中大于 \(x\) 的数的个数和当前在 \([pos[x]+1,n]\) 中小于 \(x\) 的数

带修改主席树即可，时间复杂度 \(O(nlog^2n)\)，空间复杂度 \(O(nlog^2n)\)

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int n,m,a[maxn],pos[maxn];ll ans;
int T[maxn],lT[maxn],rT[maxn],L[maxn*400],R[maxn*400],sum[maxn*400],tot,cnt1,cnt2;inline int read(){register int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return (f==1)?x:-x;
}namespace unorder_pair{struct Binary_Index_Tree{int c[maxn];void update(int x,int y){for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=y;}int sum(int x){int ans=0;for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=c[x];return ans;}}T;ll solve(){ll ans=0;for(int i=n;i>=1;i--){ans+=T.sum(a[i]);T.update(a[i],1);}return ans;}
}void update(int &now,int l,int r,int x,int v){if(!now) now=++tot;sum[now]+=v;if(l == r) return ;int mid=(l+r)>>1;if(x <= mid) update(L[now],l,mid,x,v);else update(R[now],mid+1,r,x,v);
}void add(int x,int v){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))update(T[i],1,n,a[x],v);
}int query(int l,int r,int v,int sta){if(l>r) return 0;cnt1=cnt2=0;for(int i=l-1;i>0;i-=lowbit(i)) lT[++cnt1]=T[i];for(int i=r;i>0;i-=lowbit(i)) rT[++cnt2]=T[i];l=1,r=n;int mid,ans=0;while(l!=r){mid=(l+r)>>1;if(mid < v){if(!sta){for(int i=1;i<=cnt1;i++) ans-=sum[L[lT[i]]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) ans+=sum[L[rT[i]]];}for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=R[lT[i]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=R[rT[i]];l=mid+1;}else {if(sta){for(int i=1;i<=cnt1;i++) ans-=sum[R[lT[i]]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) ans+=sum[R[rT[i]]];}for(int i=1;i<=cnt1;i++) lT[i]=L[lT[i]];for(int i=1;i<=cnt2;i++) rT[i]=L[rT[i]];r=mid;}}return ans;
}int main()
{n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),pos[a[i]]=i;ans=unorder_pair::solve();for(int i=1;i<=n;i++) add(i,1);int x;for(int i=1;i<=m;i++){x=read();printf("%lld\n",ans);ans-=(ll)query(1,pos[x]-1,x,1);ans-=(ll)query(pos[x]+1,n,x,0);add(pos[x],-1);}return 0;
}