【数据结构】哈夫曼树与哈夫曼编码

定义

带权路径长度（WPL）：设二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点带有权值wkw_kwk，从根节点到每个叶子结点的长度为lkl_klk，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：WPLWPLWPL=∑k=1n\sum_{k=1}^{n}∑k=1n

最优二叉树或哈夫曼树：WPL最小的二叉树

哈夫曼树的构造

每次将权值最小的两棵二叉树合并
如何选取两个最小的元素？利用堆

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode{int Weight;HuffmanTree Left, Right;
}
HuffmanTree Huffman( MinHeap H )
{ /* 假设H->Size个权值已经存在H->Elements[]->Weight里 */int i; HuffmanTree T;BuildMinHeap(H); /*将H->Elements[]按权值调整为最小堆*/for (i = 1; i < H->Size; i++) { /*做H->Size-1次合并*/T = malloc( sizeof( struct TreeNode) ); /*建立新结点*/T->Left = DeleteMin(H);/*从最小堆中删除一个结点，作为新T的左子结点*/T->Right = DeleteMin(H);/*从最小堆中删除一个结点，作为新T的右子结点*/T->Weight = T->Left->Weight+T->Right->Weight;/*计算新权值*/Insert( H, T ); /*将新T插入最小堆*/}T = DeleteMin(H);return T;

哈夫曼树的特点

没有度为1的结点
n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1的结点
哈夫曼树的任意非叶结点的左右子树交换后仍是哈夫曼树
对同一组权值，是否存在不同构的两个哈夫曼树？有可能

哈夫曼编码

给定一段字符串，如何对字符进行编码，可以使得该字符串的编码存储空间最少？

[例]
假设有一段文本，包含58个字符，并由以下7个字符构：a，e，i，s，t，空格（sp），换行（nl）；这7个字符出现的次数不同。如何对这7个字符进行编码，使得总编码空间最少？

【分析】
（1）用等长ASCII编码：58 ×8 = 464位；
（2）用等长3位编码：58 ×3 = 174位；
（3）不等长编码：出现频率高的字符用的编码短些，出现频率低的字符则可以编码长些？

怎么进行不等长编码？如何避免二义性？

前缀码prefix code：任何字符的编码都不是另一字符编码的前缀
可以无二义地解码

怎么构造一颗编码代价最小的二叉树？

代价最小且不会有二义性

参考资料

浙大数据结构MOOC

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