算法思路

判断平面内点是否在多边形内有多种算法，其中射线法是其中比较好理解的一种，而且能够支持凹多边形的情况。该算法的思路很简单，就是从目标点出发引一条射线，看这条射线和多边形所有边的交点数目。如果有奇数个交点，则说明在内部，如果有偶数个交点，则说明在外部。如下图所示：

算法步骤如下：

已知点point(x,y)和多边形Polygon的点有序集合（x1,y1;x2,y2;….xn,yn;）；
以point为起点，以无穷远为终点作平行于X轴的射线line(x,y; -∞,y)；循环取得多边形的每一条边side(xi,yi;xi+1,yi+1)：
1). 判断point(x,y)是否在side上，如果是，则返回true。
2). 判断line与side是否有交点，如果有则count++。
判断交点的总数count，如果为奇数则返回true，偶数则返回false。

2. 具体实现

在具体的实现过程中，其实还有一个极端情况需要注意：当射线line经过的是多边形的顶点时，判断就会出现异常情况。针对这个问题，可以规定线段的两个端点，相对于另一个端点在上面的顶点称为上端点，下面是下端点。如果射线经过上端点，count加1，如果经过下端点，则count不必加1。具体实现如下：

#include<iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>#define EPSILON 0.000001using namespace std;//二维double矢量
struct  Vec2d
{double x, y;Vec2d(){x = 0.0;y = 0.0;}Vec2d(double dx, double dy){x = dx;y = dy;}void Set(double dx, double dy){x = dx;y = dy;}
};//判断点在线段上
bool IsPointOnLine(double px0, double py0, double px1, double py1, double px2, double py2)
{bool flag = false;double d1 = (px1 - px0) * (py2 - py0) - (px2 - px0) * (py1 - py0);if ((abs(d1) < EPSILON) && ((px0 - px1) * (px0 - px2) <= 0) && ((py0 - py1) * (py0 - py2) <= 0)){flag = true;}return flag;
}//判断两线段相交
bool IsIntersect(double px1, double py1, double px2, double py2, double px3, double py3, double px4, double py4)
{bool flag = false;double d = (px2 - px1) * (py4 - py3) - (py2 - py1) * (px4 - px3);if (d != 0){double r = ((py1 - py3) * (px4 - px3) - (px1 - px3) * (py4 - py3)) / d;double s = ((py1 - py3) * (px2 - px1) - (px1 - px3) * (py2 - py1)) / d;if ((r >= 0) && (r <= 1) && (s >= 0) && (s <= 1)){flag = true;}}return flag;
}//判断点在多边形内
bool Point_In_Polygon_2D(double x, double y, const vector<Vec2d> &POL)
{   bool isInside = false;int count = 0;//double minX = DBL_MAX;for (int i = 0; i < POL.size(); i++){minX = std::min(minX, POL[i].x);}//double px = x;double py = y;double linePoint1x = x;double linePoint1y = y;double linePoint2x = minX -10;         //取最小的X值还小的值作为射线的终点double linePoint2y = y;//遍历每一条边for (int i = 0; i < POL.size() - 1; i++){  double cx1 = POL[i].x;double cy1 = POL[i].y;double cx2 = POL[i + 1].x;double cy2 = POL[i + 1].y;if (IsPointOnLine(px, py, cx1, cy1, cx2, cy2)){return true;}if (fabs(cy2 - cy1) < EPSILON)   //平行则不相交{continue;}if (IsPointOnLine(cx1, cy1, linePoint1x, linePoint1y, linePoint2x, linePoint2y)){if (cy1 > cy2)         //只保证上端点+1{count++;}}else if (IsPointOnLine(cx2, cy2, linePoint1x, linePoint1y, linePoint2x, linePoint2y)){if (cy2 > cy1)         //只保证上端点+1{count++;}}else if (IsIntersect(cx1, cy1, cx2, cy2, linePoint1x, linePoint1y, linePoint2x, linePoint2y))   //已经排除平行的情况{count++;}}if (count % 2 == 1){isInside = true;}return isInside;
}int main()
{   //定义一个多边形（六边形）vector<Vec2d> POL;    POL.push_back(Vec2d(268.28, 784.75));POL.push_back(Vec2d(153.98, 600.60));POL.push_back(Vec2d(274.63, 336.02));POL.push_back(Vec2d(623.88, 401.64));POL.push_back(Vec2d(676.80, 634.47));POL.push_back(Vec2d(530.75, 822.85));POL.push_back(Vec2d(268.28, 784.75));             //将起始点放入尾部，方便遍历每一条边//if (Point_In_Polygon_2D(407.98, 579.43, POL)){cout << "点（407.98, 579.43）在多边形内" << endl;}else{cout << "点（407.98, 579.43）在多边形外" << endl;}//if (Point_In_Polygon_2D(678.92, 482.07, POL)){cout << "点（678.92, 482.07）在多边形内" << endl;}else{cout << "点（678.92, 482.07）在多边形外" << endl;}return 0;
}

运行结果如下：

改进空间

很多情况下在使用该算法之前，需要一个快速检测的功能：当点不在多边形的外包矩形的时候，那么点一定不在多边形内。
判断点在线上函数IsPointOnLine()和判断线段相交函数IsIntersect()这里并不是最优算法，可以改成向量计算，效率应该更高。

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