数据结构-----红黑树的插入操作

红黑树是一棵二叉搜索树；树种每一个节点的颜色不是黑色就是红色。本篇中只实现用节点的颜色来描述红黑树，性质如下：

RB1：根节点和所有外部节点都是黑色；

RB2：在根至外部节点路径上，没有连续两个节点是红色；

RB3：在所有根至外部节点的路径上，黑色节点的数目都相同；

实现红黑树，首先需要定义树节点，节点包括：

1：节点颜色，黑色或者白色，用整型或者布尔类型表示，也可以预设两个宏；

2：节点权值，用来保存节点的数据；

3：左右子树指针；

首先是红黑树的定义，本例中红黑树继承自BST（二叉搜索树），即：

#define BLACK 1
#define RED 0template<class T>
class RBTree : public binarySearchTree<T, int>
{
public:RBTree() : binarySearchTree() {}~RBTree() {}void insert(const T& key) {insert(root, key);}void remove(const T& key) {remove(root, key);}private:binaryTreeNode<pair<const T, int>>*insert(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*&, const T&);binaryTreeNode<pair<const T, int>>*remove(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*&, const T&);binaryTreeNode<pair<const T, int>>*maximun(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*);binaryTreeNode<pair<const T, int>>*minimun(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*);int color(binaryTreeNode<pair<const T, int>>*);}

和AVL树类似，插入删除操作也是利用递归实现，所以在私有成员中存在实现递归调用的重载函数。

模板参数T为节点权值的类型，int为颜色类型。

insert插入函数：在以该节点为根节点的子树中插入新权值，返回插入后该子树的根节点。

remove删除操作：在以该节点为根节点的子树中删除特定权值的节点，返回删除后子树的根节点。

maximun函数：返回以该节点为根节点的子树中权值最大的节点。

minimun函数：返回以该节点为根节点的子树中权值最小的节点。

color函数：返回函数的颜色。

template<class T>
int RBTree<T>::color(binaryTreeNode<pair<const T,int>>* pnode)
{if(pnode == NULL)return BLACK;return pnode->element.second;
}

插入操作步骤如下：
步骤1：找到待插入的位置，即逐个比较权值，若该节点权值小于待插入权值，则在右子树中插入；若该节点权值大于待插入权值，则在左子树中插入。

步骤2：申请新节点，若树为空，则新节点为黑色；若树非空，则新节点为红色。

步骤3：改变相关节点的颜色，调整树平衡。

申请新节点的代码如下：

template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T, int>>*
RBTree<T>::insert(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* &pnode, const T& key)
{if(pnode == NULL){if(root == NULL)pnode = new binaryTreeNode<pair<const T, int>>*(pair<const T, int>(key, BLACK));elsepnode = new binaryTreeNode<pair<const T, int>>*(pair<const T, int>(key, RED)); }/*...*/
}

接下来就是执行比较插入的过程，涉及到对节点颜色进行修改的内容，我们先了解一下需要哪些调整。

插入操作的树平衡被破坏无非是存在两个连续的红色节点，违反了RB2。

同时，若违反RB2，则新插入节点和其父节点都应为红色，那么祖父节点必须为黑色（因为插入之前是平衡的）。

被破坏的情况有以下几种，假设子树的根节点为pnode，插入的节点为ptNode：

第一种情况：pnode的左孩子和右孩子都为红色，新节点是pnode孩子的孩子。

插入节点为pnode->leftChild->leftChild或pnode->leftChild->rightChild
color(pnode->leftChild) == RED && color(pnode->rightChild) == RED

                              或者


插入节点为pnode->rightChild->leftChild或pnode->rightChild->rightChild
color(pnode->rightChild) == RED && color(pnode->leftChild) == RED

解决方案：

1：将根节点的左右子树的颜色涂上黑色；

2：若pnode不是整个红黑树的根节点，则将pnode涂上红色

3：返回pnode；

代码实现：

template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T,int>>*
RBTree<T>::rModify(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* pnode)
{pnode->leftChild->element.second = BLACK;pnode->rightChild->element.second = BLACK;if(pnode != root)pnode->element.second = RED;return pnode;
}

第二种情况：pnode的左孩子为红色，右孩子为黑色（也可以是外部节点），新节点是pnode左孩子的孩子。

插入节点为pnode->leftChild->leftChild或pnode->leftChild->rightChild
color(pnode->leftChild) == RED && color(pnode->rightChild) == BLACK

解决方案：

1：若插入的是pnode左孩子的左孩子，则进行右旋操作；若插入的是pnode左孩子的右孩子，则进行先左旋后右旋操作；此时pnode为新根节点。

2：将新的根节点涂黑，将新根节点右孩子涂红。

3：返回根节点。

代码实现：

template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T,int>>*
RBTree<T>::LbModify(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* pnode)
{pnode->element.second = BLACK;pnode->rightChild->element.second = RED;return pnode;
}

函数调用：

if(color(pnode->rightChild) == BLACK && color(pnode->leftChild) == RED)
{if(key > pnode->leftChild->element.first)pnode = leftRightRotation(pnode);elsepnode = rightRotation(pnode);pnode = LbModify(pnode);
}

第三种情况：pnode的右孩子为红色，左孩子为黑色，新节点为pnode右孩子的孩子。

插入节点为pnode->rightChild->leftChild或pnode->rightChild->rightChild
color(pnode->rightChild) == RED && color(pnode->leftChild) == BLACK

解决方案：

1：若新节点是pnode右孩子的右孩子，进行左旋操作；若新节点是pnode右孩子的左孩子，进行先右旋后左旋操作，此时pnode为新的根节点。

2：将新的根节点涂黑，新根节点的左孩子涂红。

3：返回新根节点。

代码实现：

template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T,int>>*
RBTree<T>::RbModify(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* pnode)
{pnode->element.second = BLACK;pnode->leftChild->element.second = RED;return pnode;
}

调用代码：

if(color(pnode->leftChild) == BLACK && color(pnode->rightChild) == RED)
{if(key > pnode->rightChild->element.first)pnode = leftRotation(pnode);elsepnode = rightLeftRotation(pnode);pnode = RbModify(pnode);
}

插入函数代码：

template<class T>
binaryTreeNode<pair<const T, int>>*
RBTree<T>::insert(binaryTreeNode<pair<const T, int>>* &pnode, const T& key)
{if(pnode == NULL)    //申请新节点，空则为黑色，非空则为红色。{if(root == NULL)pnode = new binaryTreeNode<pair<const T, int>>*(pair<const T, int>(key, BLACK));elsepnode = new binaryTreeNode<pair<const T, int>>*(pair<const T, int>(key, RED));  }else{if(key < pnode->element.first){//如果key小，则在左子树中插入pnode->leftChild = insert(pnode->leftChild, key);//左子树中插入后，若左孩子的孩子是红色，则需要进一步判断。if(pnode->leftChild->leftChild != NULL && color(pnode->leftChild->leftChild) == RED)||(pnode->leftChild->rightChild != NULL && color(pnode->leftChild->rightChild) == RED){//若左孩子是红色，则需要调整if(color(pnode->leftChild) == RED){if(color(pnode->rightChild) == RED)  //若右孩子是黑色，为第一种情况pnode = rModify(pnode);else             //否则，为第二种或者第三种{if(key > pnode->leftChild->element.first)pnode = leftRightRotation(pnode);elsepnode = rightRotation(pnode);pnode = LbModify(pnode);}}}}//与上述对称else if(key > pnode->element.first){pnode->rightChild = insert(pnode->rightChild, key);if(pnode->rightChild->leftChild != NULL && color(pnode->rightChild->leftChild) == RED) ||(pnode->rightChild->rightChild != NULL && color(pnode->rightChild->rightChild) == RED){if(color(pnode->rightChild) == RED){if(color(pnode->leftChild) == RED)pnode = rModify(pnode);else{if(key > pnode->rightChild->element.first)pnode = leftRotation(pnode);elsepnode = rightLeftRotation(pnode);pnode = RbModify(pnode);}}}}}return pnode;
}

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