泛函分析——有界线性算子和函数

线性映射： Let XXX and YYY be linear spaces over the same field F\mathbb{F}F. A linear operator from XXX into YYY is a mapping T:X→YT: X \rightarrow YT:X→Y such that

T(αx1+βx2)=αTx1+βTx2T\left(\alpha x_{1}+\beta x_{2}\right)=\alpha T x_{1}+\beta T x_{2}T(αx1+βx2)=αTx1+βTx2 for all x1,x2∈Xx_{1}, x_{2} \in Xx1,x2∈X and all α,β∈F\alpha, \beta \in \mathbb{F}α,β∈F

线性算子T的值域
ran⁡(T)={y∈Y∣y=Txfor some x∈X}=TX\operatorname{ran}(T)=\{y \in Y \mid y=T x \text { for some } x \in X\}=T Xran(T)={y∈Y∣y=Tx for some x∈X}=TX
线性算子T的核空间
N(T)=ker⁡(T)={x∈X:Tx=0}=T−1(0)\mathcal{N}(T)=\operatorname{ker}(T)=\{x \in X: T x=0\}=T^{-1}(0)N(T)=ker(T)={x∈X:Tx=0}=T−1(0)
赋范线性空间中线性操作算子的有界
Let XXX and YYY be normed linear spaces over the same field F\mathbb{F}F. A linear operator T:X→YT: X \rightarrow YT:X→Y is said to be bounded if there exists a constant M>0M>0M>0 such that
∥Tx∥≤M∥x∥for all x∈X.\|T x\| \leq M\|x\| \quad \text { for all } \quad x \in X . ∥Tx∥≤M∥x∥ for all x∈X.
赋范线性空间中线性操作算子的连续
An operator T:X→YT: X \rightarrow YT:X→Y is said to be continuous at x0∈Xx_{0} \in Xx0∈X if given any ϵ>0\epsilon>0ϵ>0 there is a δ>0\delta>0δ>0 such that
∥Tx−Tx0∥<ϵwhenever ∥x−x0∥<δ. \left\|T x-T x_{0}\right\|<\epsilon \quad \text { whenever }\left\|x-x_{0}\right\|<\delta \text { . } ∥Tx−Tx0∥<ϵ whenever ∥x−x0∥<δ .
TTT is continuous on XXX if it is continuous at each point of XXX.
算子范数
Let XXX and YYY be normed linear spaces over the same field F\mathbb{F}F and let T∈B(X,Y)T \in \mathcal{B}(X, Y)T∈B(X,Y). The operator norm (or simply norm) of T,T,T, denoted by ∥T∥,\|T\|,∥T∥, is defined as
∥T∥=inf⁡{M:∥Tx∥≤M∥x∥,for all x∈X}\|T\|=\inf \{M:\|T x\| \leq M\|x\|, \quad \text { for all } x \in X\} ∥T∥=inf{M:∥Tx∥≤M∥x∥, for all x∈X}

Since TTT is bounded, ∥T∥<∞\|T\|<\infty∥T∥<∞. Furthermore,
∥Tx∥≤∥T∥∥x∥for all x∈X\|T x\| \leq\|T\|\|x\| \quad \text { for all } \quad x \in X ∥Tx∥≤∥T∥∥x∥ for all x∈X

将算子组合运算，加法乘法运算。
线性函数：A linear operator f:X→Ff: X \rightarrow \mathbb{F}f:X→F is called a linear functional on X.X .X.
如果一个线性函数的值域是复数集，那么它就是一个线性函数。

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