题目

传送门 to luogu

问题描述
阿明是一名推销员，他奉命到螺丝街推销他们公司的产品。

螺丝街是一条死胡同，出口与入口是同一个，街道的一侧是围墙，另一侧是住房。螺丝街一共有 NNN 家住房，第 iii 家住户到入口的距离为 SiS_iSi 米。由于同一栋房子里可以有多家住户，所以可能有多家住房与入口的距离相等。

阿明会从入口进入，依次向螺丝街的 XXX 家住房推销产品，然后再原路走出去。阿明每走 111 米就会积累 111 点疲劳值，向第 iii 家住房推销产品会积累 AiA_iAi 点疲劳值。阿明是工作狂，他想知道，对于不同的 XXX ，在不走多余路的前提下，他最多可以积累多少点疲劳值。

输入格式
第一行有一个正整数 NNN ，表示螺丝街住房的数量。

接下来的一行有 NNN 个正整数，其中第 iii 个整数 SiS_iSi 表示第 iii 家住户到入口的距离。数据
保证 S1≤S2≤…≤Sn≤108S_1\le S_2≤…≤S_n≤10^8S1≤S2≤…≤Sn≤108 。

接下来的一行有 NNN 个整数，其中第 iii 个整数 AiA_iAi 表示向第 iii 户住户推销产品会积累的疲
劳值。数据保证 Ai<103Ai<10^3Ai<103 。

输出格式
输出 NNN 行，每行一个正整数，第 iii 行整数表示当 X=iX=iX=i 时，阿明最多积累的疲劳值。

数据范围与提示
对于20%20\%20%的数据，1≤N≤201≤N≤201≤N≤20 ；
对于40%40\%40%的数据，1≤N≤1001≤N≤1001≤N≤100 ；
对于60%60\%60%的数据，1≤N≤10001≤N≤10001≤N≤1000 ；
对于100%100\%100%的数据，1≤N≤1000001≤N≤1000001≤N≤100000 。

思路

说明：为了行文方便，以下称 “一户人家” 为 “点” ，将要推销的点的集合为 XXX 。

因为不走回头路，所以行走的疲劳值只有 2max⁡x∈XSx2\max_{x\in X} S_x2maxx∈XSx ，而推销疲劳值为 ∑x∈XAx\sum_{x\in X}A_x∑x∈XAx ，所以有：
ans=2max⁡x∈XSx+∑x∈XAxans=2\max_{x\in X}S_x+\sum_{x\in X}A_x ans=2x∈XmaxSx+x∈X∑Ax

注意到 max⁡x∈XSx\max_{x\in X}S_xmaxx∈XSx 的变化是非常难的，所以，我们不妨假设一组解。其深层原因是，我们要最大化 ansansans，恰好它是由 max⁡Sx\max S_xmaxSx 决定的，二者统一。

在这组解中，我们将 SSS 最大的点固定，剩下的点就可以任选，目的是让 ∑A\sum A∑A 最大。

很显然，剩下的点应当尽量去选择 AAA 比较大的，因为 SSS 已经不归它们管了。

所以，我们最多只需要一个点去得到较大的 SSS ，于是就至少会选前 i−1i-1i−1 大的 AAA 。

固定了 i−1i-1i−1 个极大的 AAA 之后，剩下的一个就应该综合考虑 S+AS+AS+A 了。这可以用 O(n)\mathcal O(n)O(n) 的预处理得到。

当然，也有可能不考虑 S+AS+AS+A ，直接全部选最大的 AAA ，SSS 就听天由命了。还是可以预处理。

上面这种情况的本质是，S+AS+AS+A 中的 SSS 却没有已经固定的大 AAA 厉害。毕竟 S+AS+AS+A 的考虑是比较狭隘的——它只考虑不属于前 iii 大的 AAA 的点。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;struct Home{int s,a;bool operator<(const Home &x)const{return a>x.a;}
};const int MAXN=100000;
int suma[MAXN+5],s_and_a[MAXN+5],maxs[MAXN+5];
Home home[MAXN+5];int main()
{int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&home[i].s);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&home[i].a);sort(home+1,home+1+n);for(int i=1;i<=n;++i){maxs[i]=max(maxs[i-1],home[i].s);suma[i]=suma[i-1]+home[i].a;}for(int i=n;i>=1;--i)s_and_a[i]=max(s_and_a[i+1],home[i].s*2+home[i].a);for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",max(maxs[i]*2+suma[i],s_and_a[i]+suma[i-1]));return 0;
}

后记

我的所有博客中（我还是写了不少的），阅读比较多的竟然是这几篇：

巴拉巴拉（记不清名字了），是一道有点意思的黑题。
这篇博客，是一道绿题……
普林姆正确性的证明，而最小生成树的板题是黄色的……

我无话可说。您开心就好。

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