2021 ICPC Gran Premio de Mexico 2da Fecha - F.Flipped Factorization（PN筛）

直接使用PN筛O(nlog⁡n)O(\sqrt n \log n)O(nlogn)，注意几个会溢出的乘法。

拟合函数g(x)=1g(x)=1g(x)=1，令f=h∗gf=h*gf=h∗g，易推知：h(p)=0,h(1)=1,h(pk)=f(pk)−f(pk−1)h(p)=0,h(1)=1,h(p^k)=f(p^k)-f(p^{k-1})h(p)=0,h(1)=1,h(pk)=f(pk)−f(pk−1)

Ans=∑i=1n[i∈PN]h(i)⌊ni⌋Ans=\sum_{i=1}^{n}[i\in PN]h(i)\lfloor\frac{n}{i}\rfloorAns=i=1∑n[i∈PN]h(i)⌊in⌋

dfsdfsdfs时更新答案即可。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
#define PII pair<int, int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define ps push
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define pb push_back
#define vec vector
#define str string
using namespace std;
typedef long long ll;const int N = 1e7 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;int cnt;ll pr[N];
bitset<N> ok;ll n, sq, ans;ll qpow(ll x, ll n) {ll res = 1LL;for (x %= mod; n; n >>= 1, x = x * x % mod)if (n & 1LL) res = res * x % mod;return res;
}void dfs(ll x, ll h, int num) {ll lim = n / x;ans = (ans + lim % mod * h % mod) % mod;for (int i = num + 1; i <= cnt; i++) {if (1LL * pr[i] * pr[i] > lim) break;ll cur = 1LL * x * pr[i] * pr[i], tmp = n / pr[i];for (int j = 2; cur <= n; j++, cur = cur * pr[i]) {dfs(cur, (qpow(j, pr[i]) - qpow(j - 1, pr[i]) + mod) % mod * h % mod, i);if (cur > tmp) break;}}
}int main() {scanf("%lld", &n), sq = sqrtl(n) + 1;for (int i = 2; i <= sq; i++) {if (!ok[i]) pr[++cnt] = i;for (int j = 1; j <= cnt && 1LL * i * pr[j] <= sq; j++) {ok[i * pr[j]] = 1;if (i % pr[j] == 0) break;}}dfs(1, 1, 0);printf("%lld", ans);return 0;
}

另记

组队训练时一直吊死在Min_25筛上真是不值（如有大佬用这个过了就当我没说），害，以前看PN不太实用（h(pk)h(p^k)h(pk)一般情况要用二维数组存，空间可能直接爆炸），就没学（虽然挺简单的）。

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