前言：这些都是我在学习MATLAB与数学建模时遇到的一些常用函数，就在这里写了下。当然MATLAB十分强大，函数众多，这些只是凤毛麟角，这篇博客我也会一直更新有新的函数就接着写上，希望对大家有所帮助。

前言：这些都是我在学习MATLAB与数学建模时遇到的一些常用函数，就在这里写了下。当然MATLAB十分强大，函数众多，这些只是凤毛麟角，这篇博客我也会一直更新有新的函数就接着写上，希望对大家有所帮助。有不足之处还望指出。

这里是MATLAB画图篇。

数值计算篇

1. 微分方程

解上式x(t)=?

x=dsolve("Dx=r*x*(1-x/m)","x(0)=x0","t")

x =

-m/(exp(log(1 - m/x0) - r*t) - 1)

上面化简一下就是下面这个

解这个微分方程

求出sym来不要慌，s.x就能给结果了，注意这里是s=，要是ans就是ans.x

本题来源B站大仙一品堂

无约束问题的MATLAB解法

2. 无约束极值问题的符号解

求多元函数f(x,y)=x3?y3+3?x2+3?y3?9?xf(x,y)=x^3-y^3+3*x^2+3*y^3-9*xf(x,y)=x3?y3+3?x2+3?y3?9?x的极值

具体为啥这样算，都是高数上的知识

clear

syms x y

% x=-100:100;

% y=-100:100;

f=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x;

% plot3(x,y,z)

df = jacobian(f);%各求一阶偏导数

d2f = jacobian(df);%号求Hessian阵

[xx,yy] =solve(df) %求驻点

xx = double( xx) ;yy = double(yy);%名转化成双精度浮点型数据,下面判断特征值的正负须是数值型数据

for i =1: length( xx)

a=subs(d2f,{x,y},{xx(i),yy(i)});

b=eig(a);%名求矩阵的特征值

f =subs( f,{x,y},{xx(i),yy(i)});

f = double( f);

if all(b>0)

fprintf("(% f,%f)是极小值点,对应的极小值为 %f\n" ,xx(i),yy(i),f);

elseif all(b<0 )

fprintf("(% f,% f)是极大值点,对应的极大值为%f\n" ,xx(i),yy(i),f);

elseif any(b>0) && any(b<0)

fprintf("(% f,%f)不是极值点\n" ,xx(i),yy(i));

else

fprintf("无法判断(% f,% f)是否是极值点\n",xx(i),yy(i));

end

i=i+1;

end

3.无约束极值问题的数值解

fminunc 找到指定问题的最小值，minxf(x) ,其中f(x)是一个返回一个标量的函数，x是一个向量或者矩阵。

fminsearch 从x0开始，找到函数fun中的局部最小值x，x0可以是标量，向量，矩阵。

求sin(x)+3sin(x)+3sin(x)+3在4附近的极小值。

clear

f=@(x) sin(x)+3;

[x,y]=fminsearch(f,4)

clc, clear

f=@ (x) x(1)^3 -x(2)^3 +3 *x(1)^2 +3 *x(2)^2 -9 *x(1) ;

g=@ (x) - f(x);

[xy1,z1] = fminunc( f, rand(2,1))%求极小值点

[xy2 ,z2] = fminsearch(g,rand(2,1));%求极大值点

xy2,z2=-z2

xy1 =

1.0000

-0.0000

z1 =

-5.0000

xy2 =

-3.0000

2.0000

ans =

31.0000

可以看到，在(1，0)取得极小值 -5，在(-3，2)取得极大值 31。

4.求函数的零点和方程组的解

求f(x)=x3?x2+5?x?3f(x)=x^3-x^2+5*x-3f(x)=x3?x2+5?x?3的零点.

xishu=[1 -1 2 -3];

roots(xishu)

ans =

-0.1378 + 1.5273i

-0.1378 - 1.5273i

1.2757 + 0.0000i

求方程组的解

syms x y

[x,y]=solve(x^2+y-6,y^2+x-6)

x =

2

-3

21^(1/2)/2 + 1/2

1/2 - 21^(1/2)/2

y =

2

-3

1/2 - 21^(1/2)/2

21^(1/2)/2 + 1/2

函数化简

(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^{(1/3)}(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)

syms x

f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3)

r1=simplify(f)%((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)

% "Steps",默认是1，设置值可以去任意整数，表示化简的轮次

%"IgnoreAnalyticConstraints",默认是false，如果为true，只考虑纯粹的化简，而不顾及“非完全等价”的可能

r2=simplify(f,"Steps",10,"IgnoreAnalyticConstraints",true)%1/x + 2

求极限

sin(t?k)/(t?k),(1?1/x)(k?x)sin(t*k)/(t*k),(1-1/x)^{(k*x)}sin(t?k)/(t?k),(1?1/x)(k?x)

syms t x k

g=sin(t*k)/(t*k);

f=(1-1/x)^(k*x);

symvar(g,1)%这个是看一下我们的自由变量是啥 是t

lig=limit(g,0)% t趋近于0时的值

lig1=subs(lig,k,1) % subs是把t替换成1

lif=limit(f,x,inf)

lif1=subs(lif,k,-1)

lif2=vpa(subs(lif,k,-1),48)%vpa是精度，精确到小数点后48位

求导

普通求导:sin(∣x∣)sin(|x|)sin(∣x∣)

abs()是求绝对值，

Y = sign(x) 返回与 x 大小相同的数组 Y，其中 Y 的每个元素是：

1，前提是 x 的对应元素大于 0。

0，前提是 x 的对应元素等于 0。

-1，前提是 x 的对应元素小于 0。

x./abs(x)，前提是 x 为复数。

clear

syms x

x=[-4:0.1:4];

f=sin(abs(x));

d=diff(f)

y=cos(abs(x)).*sign(x);%这里复制了下d

plot(x,y)%这里plot(x,y)，y必须重新定义，不能用前面算出来的d

d1 =

cos(abs(x))*sign(x)

隐函数求导

泰勒级数展开

syms x

r5=taylor(x*exp(x))%默认是6级

r8=taylor(x*exp(x),"Order",8)%这是8级

pretty(r8)%pretty展开多项式的易读格式

有限/无限级数之和.

syms n k

f=1/(k*(k+1))

d1=symsum(f,k,1,inf)

d2=symsum(f,k,1,n)

d1 =

1

d2 =

n/(n + 1)

积分

普通积分

int(x^2)

多重积分

∫12∫xx2∫x?yx2yx2+y2+z2dzdydx\int_{1}^{2}\int_{\sqrt{x}}^{x^2}\int_{\sqrt{x*y}}^{x^2y}x^2+y^2+z^2dzdydx∫12?∫x?x2?∫x?y?x2y?x2+y2+z2dzdydx

clear

syms x y z

f=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)

vpa(f)

符号计算篇

1. 隐函数化简求解

(1)、

上式化简为下式

syms t r i

t=solve(1== ((1-i)/i)*exp(-r*t),t)

t =

-log(-i/(i - 1))/r

化简下面函数

syms b d v1 v2 v3 v4

[v3,v4]=solve(b*v1+d*v2==b*v3+d*v4,b*v1^2+d*v2^2==b*v3^2+d*v4^2,v3,v4)

v3 =

(b*v1 - d*v1 + 2*d*v2)/(b + d)

v4 =

(2*b*v1 - b*v2 + d*v2)/(b + d)

用符号法求解

u?w2+z?w2=vu*w^2+z*w^2=vu?w2+z?w2=v

代码很简单，自己运行看结果吧，建议用实时脚本来运行

clear

syms u v w z

E=u*w^2+z*w^2-v

g(z)=u*w^2+z*w^2==v

symvar(E,1)%后面不带数字1的话是给出所有的参数符号，1是最前面那个，也就是我们要求的参数

symvar(g(z),1)

r1=solve(E)

r2=solve(g(z))

s1=solve(E,z)

s2=solve(g(z),z)

ans=simplify(subs(E,z,s1))%subs就是把s1换成z

ans1=simplify(g(s2))

微分方程

求通解和奇解

图示微分方y=xy′?(y′)2y=xy"-(y")^2y=xy′?(y′)2的通解和奇解。

(与原微分方程的每一个解都相切的曲线的方程叫奇解)

clear all

y=dsolve("(Dy)^2-x*Dy+y=0","x")%求解，得到一个通解，一个奇解

%%

hold on

hy1=ezplot(y(2),[-6,6,-4,8],1);%奇解的图像

set(hy1,"Color","r","LineWidth",2)

%%

Sv=symvar(y(1));%自动辨认基本符号变量(不定常数符号)

for k=-2:0.5:2%画通解，给基本符号变量赋不同的值

y2=subs(y(1),Sv(1),k);

ezplot(y2,[-6,6,-4,8],1)

end

hold off

box on

legend("奇解","通解","Location","Best")

ylabel("y")

title(["\fontsize{14}微分方程"," (y "")^2 – xy "" + y = 0 ","的解"])

求反函数

求y=f(x)=1?21+exy=f(x)=1-\frac{2}{1+e^x}y=f(x)=1?1+ex2?

clc,clear

%% 求原函数积分，并作图

syms x y real

f(x)=1-2/(1+exp(x));%原函数

fint(x)=int(f,x,0,x)%原函数求积分

xk=0:0.1:2;

plot(xk,f(xk),"g",xk,fint(xk))%原函数以及积分函数图像

title("原函数及其积分函数")

legend("f(x)","\int^x_0 f(x)dx","Location","best")

%%求反函数

g(y)=subs(finverse(f),x,y)%求反函数

gint(y)=int(g,y,0,y)%对反函数积分

gf=g(f(x))%验证

fg=f(g(y))

其他函数篇

3. unifrnd生成(连续)均匀分布的随机数

x=unifrnd(0,12,[1,10]);

y=1:10;

plot(y,x,"*")

x生成了[0,12]内的十个随机数

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