三角函数的正交性

三角函数系

集合 {sin0x,cos0x,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...}\lbrace sin0x, cos0x, sinx,cosx,sin2x,cos2x,... \rbrace{sin0x,cos0x,sinx,cosx,sin2x,cos2x,...}
正交
∫−ππsinnxcosmxdx=0\int_{-\pi}^{\pi} sin\;nx\;cos\;mx\;dx=0 ∫−ππsinnxcosmxdx=0
∫−ππcosnxcosmxdx=0n≠m\int_{-\pi}^{\pi} cos\;nx\;cos\;mx\;dx=0 \quad n \not= m ∫−ππcosnxcosmxdx=0n=m

正交意味着垂直

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cosφ\vec{a} \cdot \vec{b} = \mid \vec{a}\mid \mid \vec{b} \mid cos \varphia⋅b=∣a∣∣b∣cosφ
当a⃗\vec{a}a与b⃗\vec{b}b垂直的时候，cosφ=0cos \varphi = 0cosφ=0
a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b}=0a⋅b=0

举例:
a⃗=(2,1)b⃗=(−1,2)\vec{a}=(2,1) \quad \vec{b}=(-1,2)a=(2,1)b=(−1,2)
a⃗⋅b⃗=(2,1)⋅(−1,2)=2∗−1+1∗2=0\vec{a} \cdot \vec{b}=(2,1) \cdot (-1,2) = 2*-1 + 1* 2 = 0a⋅b=(2,1)⋅(−1,2)=2∗−1+1∗2=0

扩展:
a⃗=(a1,a2,a3,...an)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,...a_n)a=(a1,a2,a3,...an)
b⃗=(b1,b2,b3,...bn)\vec{b}=(b_1,b_2,b_3,...b_n)b=(b1,b2,b3,...bn)
a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+...+anbn=∑i=1naibi=0\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + ...+ a_n b_n = \sum_{i=1}^n a_i b_i = 0a⋅b=a1b1+a2b2+...+anbn=∑i=1naibi=0

进一步扩展:

a=f(x)a=f(x)a=f(x)
b=g(x)b=g(x)b=g(x)
a⋅b=∫x0x1f(x)g(x)dx=0a \cdot b = \int_{x_0}^{x_1}f(x)g(x) dx =0a⋅b=∫x0x1f(x)g(x)dx=0
当两个函数积分等于0的时候，我们说这两个函数正交。

证明

已知:
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBsin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB
cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBcos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB

∫−ππsinnxcosmxdx=∫−ππ12[sin(n−m)x+sin(n+m)x]dx=12[∫−ππsin(n−m)xdx+∫−ππsin(n+m)xdx]=12[−1n−mcos(n−m)x∣−ππ−1n+mcos(n+m)x∣−ππ]=0+0=0\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} sinnx\;cosmx\;dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[sin(n-m)x+sin(n+m)x]dx \\ &= \frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}sin(n-m)x \;dx+\int_{-\pi}^{\pi}sin(n+m)x \;dx] \\ &=\frac{1}{2}[-\frac{1}{n-m}cos(n-m)x \mid_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n+m}cos(n+m)x \mid_{-\pi}^{\pi}] \\ &=0+0 \\ &=0 \end{aligned} ∫−ππsinnxcosmxdx=∫−ππ21[sin(n−m)x+sin(n+m)x]dx=21[∫−ππsin(n−m)xdx+∫−ππsin(n+m)xdx]=21[−n−m1cos(n−m)x∣−ππ−n+m1cos(n+m)x∣−ππ]=0+0=0

∫−ππcosnxcosmxdx=∫−ππ12[cos(n−m)x+cos(n+m)x]dx=12[∫−ππcos(n−m)xdx+∫−ππcos(n+m)xdx]=12[1n−msin(n−m)x∣−ππ+1n+msin(n+m)x∣−ππ]=0+0=0\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} cosnx\;cosmx\;dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[cos(n-m)x+cos(n+m)x]dx \\ &= \frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}cos(n-m)x \;dx+\int_{-\pi}^{\pi}cos(n+m)x \;dx] \\ &=\frac{1}{2}[\frac{1}{n-m}sin(n-m)x \mid_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{n+m}sin(n+m)x \mid_{-\pi}^{\pi}] \\ &=0+0 \\ &=0 \end{aligned} ∫−ππcosnxcosmxdx=∫−ππ21[cos(n−m)x+cos(n+m)x]dx=21[∫−ππcos(n−m)xdx+∫−ππcos(n+m)xdx]=21[n−m1sin(n−m)x∣−ππ+n+m1sin(n+m)x∣−ππ]=0+0=0

当 m=nm= nm=n 时
∫−ππcosmxcosmxdx=∫−ππ12[1+cos2mx]dx=12[∫−ππ1dx+∫−ππcos2mxdx]=12[∫−ππ1dx+0=12x∣−ππ=π\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} cosmx\;cosmx\;dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2} [1+cos2mx]dx \\ &=\frac{1}{2}[ \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx+ \int_{-\pi}^{\pi}cos2mx dx] \\ &=\frac{1}{2}[ \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx+0\\ &=\frac{1}{2}x \mid_{-\pi}^{\pi} \\ &=\pi \end{aligned} ∫−ππcosmxcosmxdx=∫−ππ21[1+cos2mx]dx=21[∫−ππ1dx+∫−ππcos2mxdx]=21[∫−ππ1dx+0=21x∣−ππ=π

原视频：
https://www.bilibili.com/video/av34364399/?spm_id_from=333.788.videocard.1

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