[Pro]斐波那契数列阿【斐波那契数列】

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设f(x)f(x)f(x)表示斐波那契数列的第x项。求f(f(x))f(f(x))f(f(x))对1e9+71e9+71e9+7取模的答案。其中x≤10100x≤10100x≤10^{100}。

Sol

本题的代码实现真的不难，难就难在了思路和预处理。

分析：我们令t=f(x)t=f(x)t=f(x)，那么题目转化为求f(t)f(t)f(t)对1e9+71e9+71e9+7取模的值。考虑取模，取模后肯定会产生一个类似循环节的东西，所以求f(t)f(t)f(t)对1e9+71e9+71e9+7取模的值的循环节，记为T1T1T1。求出来之后再返回去，求f(x)f(x)f(x)的循环节，记为T2T2T2，f(x)≤T1f(x)≤T1f(x)≤T1，此时应取模T1T1T1求得T2T2T2。最后问题转化为：求f(f(xf(f(xf(f(x%T2)%T1)%(1e9+7)的值。因为xxx的范围很大，所以考虑高精度取模。

预处理：其实需要预处理的只是T1" role="presentation" style="position: relative;">T1T1T1和T2T2T2，因为由题目可知，T1T1T1和T2T2T2为常数(不随xxx变化而变化)。

下面代码是矩阵快速幂的斐波那契数列(一次操作O(logn)" role="presentation" style="position: relative;">O(logn)O(logn)O(logn))。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<string>
#define LL long long
using namespace std;struct Ju1 {LL x , y;
};
struct Ju2 {LL x1 , x2 , x3 , x4;
};
const LL mod = 1e9+7;
LL T1 = 2000000016 , T2 = 32916;
string n;
Ju1 dw1;
Ju2 dw2 , dw3;Ju2 mul(Ju2 x , Ju2 y) {Ju2 t;t.x1 = (x.x1 * y.x1 % mod + x.x2 * y.x3 % mod) % mod;t.x2 = (x.x1 * y.x2 % mod + x.x2 * y.x4 % mod) % mod;t.x3 = (x.x3 * y.x1 % mod + x.x4 * y.x3 % mod) % mod;t.x4 = (x.x3 * y.x2 % mod + x.x4 * y.x4 % mod) % mod;return t;
}Ju1 qmul(Ju2 x , Ju1 y) {Ju1 t;t.x = (x.x1 * y.x % mod + x.x2 * y.y % mod) % mod;t.y = (x.x3 * y.x % mod + x.x4 * y.y % mod) % mod;return t;
}Ju2 qpow(Ju2 x , int y) {if(y == 0)return dw3;Ju2 t = qpow(x , y/2);if(y%2 == 0)return mul(t , t);return mul(mul(t , t) , dw2);
}LL fib(LL x) {if(x == 1)return 1;Ju1 t = qmul(qpow(dw2,x-2) , dw1);return t.x % mod;
}void init() {dw1.x = 1 , dw1.y = 1;dw2.x1 = dw2.x2 = dw2.x3 = 1 , dw2.x4 = 0;dw3.x1 = dw3.x4 = 1 , dw3.x2 = dw3.x3 = 0;
}LL qmod(string s , LL x) {LL d = 0;for(int i=0; i<s.size(); i++)d = (d*10 + (s[i]-'0'))%x;return d;
}int main() {cin>>n;init();printf("%lld",fib(fib(qmod(n,T2))%T1)%mod);return 0;
}

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