解释一下积分变上限函数

本文从以下几个方面讨论这个问题

什么是变上限函数？
它如何求导？
广义的变上限函数求导方法–用牛莱公式一步到位！

1、积分上限函数的通俗理解

先看个例子：

考虑一个定积分：
A(b)=∫abf(t)dt(1)A(b)=\int_{a}^{b} f(t) d t \tag{1} A(b)=∫abf(t)dt(1)
如果把的上限在变化的话，那么这个过程就应该是这样的：

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上图其实是变上限函数 A(b)=∫abf(t)dtA(b)=\int_{a}^{b} f(t) d tA(b)=∫abf(t)dt 的几何变化情况, 当 bbb 为变量时这个綠色部分的面积就是关于 bbb 的函数。这时我们把 bbb 换成 x,A(b)x, A(b)x,A(b) 记成 F(x),F(x),F(x), 它就交成了这个函数：
F(x)=∫axf(t)dt(2)F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t \tag{2} F(x)=∫axf(t)dt(2)
称为积分变上限函数，有的地方又叫变上限函数，变上限积分。通俗地讲：就是定积分的上限是一个变量，而不是常量。

2、积分变上限函数的性质和导数

这个函数有很多良好的性质，其中一个最爽的性质就是：

如果 f(t)f(t)f(t) 连续，那么 F(x)F(x)F(x) 连续且可导。

考虑它的导数定义式:
lim⁡Δx→0F(x+Δx)−F(x)Δx=lim⁡Δx→0∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dtΔx=lim⁡Δx→0∫xx+Δxf(t)dtΔx(3)\begin{aligned} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{a}^{x+\Delta x} f(t) d t-\int_{a}^{x} f(t) d t}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) d t}{\Delta x} \end{aligned} \tag{3} Δx→0limΔxF(x+Δx)−F(x)=Δx→0limΔx∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=Δx→0limΔx∫xx+Δxf(t)dt(3)

注意（3）式就很有意思了，它表示下图所示的红斜杠阴影部分的面积：

这里要用到积分中值定理：
∫xx−Δxf(t)dt=Δx⋅f(ξ)(4)\int_{x}^{x-\Delta x} f(t) d t=\Delta x \cdot f(\xi) \tag{4} ∫xx−Δxf(t)dt=Δx⋅f(ξ)(4)
简单地说就是有个点 ξ\xiξ, 使得在这一点对应的 f(ξ)f(\xi)f(ξ) 作为高, Δx\Delta xΔx 作为密的拒形面积, 等于红綫阴影部分的曲边梯形的面积。注意这个 ξ\xiξ 是在 [x,x+Δx][x, x+\Delta x][x,x+Δx] 之间的，那么如果 Δx→0\Delta x \rightarrow 0Δx→0 这个 ξ\xiξ 就会无限趋于 xxx 。此时上述矩形的面积也就无限趋近于曲边梯形的面积。

于是把（４）代入（３）就得到：

lim⁡Δx→0∫xx+Δxf(t)dtΔx＝lim⁡Δx→0Δx⋅f(ξ)Δx=lim⁡Δx→0f(ξ)=f(x)(5)\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \int_{x}^{x+\Delta x } f(t) d t }{\Delta x} ＝ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \Delta x\cdot f(\xi)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(\xi)=f(x) \tag{5} Δx→0limΔx∫xx+Δxf(t)dt＝Δx→0limΔxΔx⋅f(ξ)=Δx→0limf(ξ)=f(x)(5)

注意：这步推导成立的前提是 f(x)f(x)f(x) 连续。

再把（5）代回（3），再注意到（3)其实就是 F(x)F(x)F(x) 的导数，于是：

F′(x)=d[∫axf(t)dt]dx=lim⁡Δx→0F(x+Δx)−F(x)Δx=f(x)(6)F^\prime(x)=\frac{d\left[\int_{a}^{x} f(t) d t \right]}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}= f(x) \tag{6} F′(x)=dxd[∫axf(t)dt]=Δx→0limΔxF(x+Δx)−F(x)=f(x)(6)
一元函数连续一定可导，所以证明完成。

3、进入正题：用牛莱公式重新认识积分变上限函数

牛莱公式的定义是：

∫abf(t)dt=F(b)−F(a)(7)\int_{a}^{b} f(t) d t=F(b)-F(a) \tag{7} ∫abf(t)dt=F(b)−F(a)(7)
如果我直接用它来研究变上限函数会是怎样：

∫axf(t)dt=F(x)−F(a)(8)\int_{a}^{x} f(t) d t=F(x)-F(a) \tag{8} ∫axf(t)dt=F(x)−F(a)(8)
左右相等对不对？所以我左边要求导是不是右边也对应求导？

现在正题来了，直接考虑右端求导：

由于左右边求导等于右边求导，那么也就能得到（6）式。

接下来才是最正的题：

考虑（2）式最一般的情形：

Φ(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt(9)\Phi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t \tag{9} Φ(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt(9)
许多人第一次见到这个东西就吓到了，书上动不动就给你拆开分成两个。完全用不着！

这里仍然设 F(x)F(x)F(x) 是 f(x)f(x)f(x) 的原函数，那么根据牛莱公式就有：

Φ(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt=F[b(x)]−F[a(x)](10)\Phi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t = F[b(x)]-F[a(x)] \tag{10} Φ(x)=∫a(x)b(x)f(t)dt=F[b(x)]−F[a(x)](10)
那么此时再对 Φ(x)\Phi(x)Φ(x) 求导是不是就感觉容易多了，没错，就是复合函数求导：

Φ′(x)=(F[b(x)]−F[a(x)])′=F′[b(x)]⋅b′(x)−F′[a(x)]⋅a′(x)(11)\Phi^\prime(x)=\left(F[b(x)]-F[a(x)]\right)^\prime=F^\prime[b(x)]\cdot b^\prime(x)-F^\prime[a(x)]\cdot a^\prime(x) \tag{11} Φ′(x)=(F[b(x)]−F[a(x)])′=F′[b(x)]⋅b′(x)−F′[a(x)]⋅a′(x)(11)
搞定！