泰勒公式到欧拉公式的推导

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一、泰勒公式
1.1泰勒公式的意义

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达。对于精度要求较高且需要估计误差的时候就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式。泰勒公式就是这样的高次多项式。

1.2泰勒公式的定义

泰勒中值定理：如果函数f（x）在含有 $x_{0}$ 的某个开区间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，则对任一 $x\epsilon (a,b)$ 有:

$f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f^{'}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)$ (1)

其中：

$R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\varepsilon )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$

这里 $\varepsilon$ 是 $x_{0}$ 与 $x$ 之间的某个值。

二、拉格朗日中值定理

公式（1）称为f（x）按 $(x-x_{0})$ 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式，而 $R_{n}(x)$ 称为拉格朗日型余项。当n=0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式：

$f(x)=f(x_{0})+f^{'}(\varepsilon )(x-x_{0})$ $\varepsilon$ 在 $x$ 与 $x_{0}$ 之间

泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广

三、麦克劳林公式

在泰勒公式（1）中，如果取 $x_{0}=0$ ，则 $\varepsilon$ 在0与 $x$ 之间，因此可以令 $\varepsilon =\theta x(0< \theta < 1)$ ，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{'}(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{n+1}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$

四、欧拉公式
4.1欧拉公式的推导

函数 $e^{x}$ ， $sinx$ ， $cosx$ 的n阶麦克劳林公式分别如下：

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...,-\infty < x< +\infty$

$sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...,-\infty < x< +\infty$

$cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...,-\infty < x< +\infty$

令 $x=i\theta$ 得到：

$e^{i\theta }=1+i\theta+\frac{(i\theta)^{2}}{2!}+\frac{(i\theta)^{3}}{3!}+...=cos\theta +isin\theta$

当 $\theta =\pi$ 时，可得到欧拉恒等式;

$e^{i\pi }+1=0$

4.2虚数i的意义

一个实数可以在实数轴上用一个向量表示，向量长度表示其绝对值，向量方向可表示其是正数还是负数。一个实数乘以一个实数向量，还是一个实数向量，这个向量仍然在实数轴上。要使向量脱离实数轴，向另一个维度旋转，那么，就可以乘以一个虚数i. 一个向量乘i这个代数运算，几何意义就是把向量旋转到另一个正交维度上去，举例如下：

这里有一条数轴，在数轴上有一条红色线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段3，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

乘以-1就相当于乘了两次i（因为i*i=-1），这样使线段旋转了180度，那么可以得出乘以一次i即相当于线段旋转了90度。

若想把向量旋转到其他更多的维度，一个i操作已经不够用了，需要用到多元数，如j,k等等，而且虚数已经不能表示任意的旋转，只有多阶矩阵才可以表示。

4.3复平面上乘法的意义

可以将复数看作复平面上的一个向量，复数的乘/除会使得这个向量伸缩/旋转，伸缩的倍数与乘/除的那个复数的模长有关，旋转的角度以及是顺时针还是逆时针旋转与乘/除的那个复数的辐角有关。

4.4欧拉公式的意义

实单位向量（长度为1）保持长度不变旋转θ角度，得到一个向量，表示为：

$cos\theta *1+isin\theta *1$

根据欧拉公式 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ 得出： $e^{^{i \theta }}$ 代表实单位向量1旋转θ角后得到的向量， $e^{^{i\pi }}$ 意味着把单位向量1旋转 $\pi$ 角，显然得到的是-1。例如： $2^{i}=e^{iln2}$ ，即实单位向量1旋转ln2弧度后得到的向量。

欧拉公式的关键作用就是将正弦波统一成了简单的指数形式，我们来看看它图像上的涵义：

可见，欧拉公式所描绘的正是在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，这个点在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数，而右侧投影则是一个正弦函数。

4.5欧拉公式与三角函数

$sin\theta =\frac{e^{i \theta } -e^{-i\theta}}{2i}$

$cos\theta =\frac{e^{i \theta } +e^{-i\theta}}{2}$

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