同态加密(CKKS)中的重线性化（Relinearization）

在基于环上的同态加密方案，比如BGV，BFV或者CKKS，在经过乘法同态的时候，往往会导致密文的维度增加。比如由明文 $m_1$ 加密而成的密文 $\textbf{c}_1=(a_0,a_1)$ ，明文 $m_2$ 加密得到的密文为 $\textbf{c}_2=(b_0,b_1)$ ，则 $\textbf{c}_1 \cdot \textbf{c}_2=(a_0b_0,a_0b_1+a_1b_0,a_1b_1)$ ，维度变成了3。为了能高效的计算同态乘法，抑制密文增长，我们需要重线性化。

我们以CKKS为例

假设有密文 $\textbf{c}=(c_0,c_1)$ 和一次乘法后的密文 $\textbf{d}=(d_0,d_1,d_2)$ ，私钥 $\textbf{s}=(1,s)$ ，则对于 $\textbf{c}$ ，解密为 $m+e=c_0+c_1s$ ，对于 $\textbf{d}$ ，解密为 $m+e=d_0+d_1s+d_2s^2$ 。（运算都是模p运算，p为明文空间的模，e为产生的噪声）

为了实现密文的重线性化，我们还需要一个辅助的密钥 $evk=(b,a)$ ，其中 $b=-as+e+ps^2$ 。

则对 $\textbf{d}$ 进行重线性化后的密文 $\textbf{c}\prime=(c_0,c_1)=(d_0,d_1)+\lceil evk \cdot d_2 \cdot p^{-1} \rfloor$ 。

证明如下：

$c_0=d_0+\lceil bd_2p^{-1} \rfloor=d_0+\lceil -asd_2p^{-1}+d_2ep^{-1}+d_2s^2 \rfloor$

$c_1=d_1+\lceil ad_2p^{-1}\rfloor$

$c_0+c_1s=d_0+d_1s+d_2s^2+\lceil d_2ep^{-1} \rfloor$

由于e是噪声，相对于p来说很小，所以 $\lceil d_2ep^{-1} \rfloor$ 在有效解密时为0。故，新的密文是 $\textbf{d}$ 的一个2维密文。

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