2^n-1的因数分解问题

2^n-1的因数分解问题

我们只讨论正整数集合的问题，N=2ⁿ-1 （n∈正整数）

1、当n=2*i，（i∈正整数）

N=2²ⁱ-1=(2ⁱ+1)(2ⁱ-1),

其最小因子为：i=1时，2+1=3，(2¹-1)=1 （因子1不考虑）

较大因子为(2ⁱ+1)，(2ⁱ-1)，关于(2ⁱ+1)的因子，参考另一篇文章(2ⁿ+1)的因数分解问题，
(2ⁱ-1)则循本篇文章规律。

2、当n=3*i，（i∈正整数）

N=2³ⁱ-1,

其最小因子为：i=1时， (23-1)=7

3、当n=4*i，（i∈正整数）

N=2⁴ⁱ-1=(2²ⁱ+1)(2²ⁱ-1)= (2²ⁱ+1) (2ⁱ+1)(2ⁱ-1),

其最小因子为：i=1时，2⁴-1=15 ，即为：(2²+1)=5， (2+1)=3，

较大因子为(2²ⁱ+1) ，(2ⁱ+1)，(2ⁱ-1)，如此类推。

4、当n=5*i，（i∈正整数）

N=2⁵ⁱ-1,

其最小因子为：i=1时，(2⁵-1)=31，

较大因子可以通过n=5*i的其他因子分解变换来推算。

5、当n=6*i，（i∈正整数）

N=2⁶ⁱ-1=(2³ⁱ+1)(2³ⁱ-1),

其最小因子为：i=1时，(2⁶-1) ，即为：(2³+1)=9=3*3，(2³-1)=7，

较大因子为(2³ⁱ+1) ， (2³ⁱ-1)，如此类推。

6、当n=7*i，（i∈正整数）

N=2⁷ⁱ-1

其较小因子为：i=1时，(2⁷-1)=127，

较大因子可以通过7*i的因子分解变换来推算。

7、当n=8*i，（i∈正整数）

N=2⁸ⁱ-1=(2⁴ⁱ+1)(2⁴ⁱ-1)= (2⁴i+1) (2²ⁱ+1) (2ⁱ+1)(2ⁱ-1),

因8=2*4，其符合2i，4i规律，

其较小因子为：i=1时，(2⁸-1)=255，(2⁴+1)=17， (2²+1)=5，(2²-1) =3，

对于大数，如n=8*7=56，N=2⁵⁶-1

当然可以取i=2,3,4,5,6, 不小于7时均可求其因子，其中可能有较多重复。

i=2, 因子为：(2¹⁶+1)，(2⁸+1)， (2⁴+1)，(2¹⁶-1)，其中2,3项因子与i=1时重复。

如此类推,得到更多因子，(2^3*8+1)，(2^3*8-1)，(2^4*8+1)，(2^4*8-1)， (2^5*8+1)，(2^5*8-1)，(2^6*8+1)，(2^6*8-1)，这些因子均成对出现,

其中偶次方均可进一步分解：(2²⁴-1)= (2¹²+1) (2¹²-1)= (2¹²+1) (2⁶+1) (2³+1) (2³-1)

以下不一一分析。

较大因子为(2⁴ⁱ+1)， (2²ⁱ+1)，(2ⁱ+1)，(2ⁱ-1)，

…………

到此，我们可以看出，实际上只考虑n的所有奇数因子，就可寻找出大数的因子。

综上，得出如下结论：

对于任意形如： N=2ⁿ-1,

当n可以分解为a1,a2,a3,…… ai，多个质因子（2除外）（i，a∈正整数）

因子为：(2^a1-1)，(2^a2-1) …… (2^a-1)或(2^a1*a2-1) ,(2^a1*a3-1)等等。

当n=2a*i时，可以运用了平方差公式进一步分解幂指数。

当n为质数时，其因子只有 2ⁿ-1

…

例1：求N=2⁹⁹-1的因子有哪些？

首先分解指数的因子 99=119=333，

则其中两个因子必为：Y1=2⁹-1=511,

Y2=2¹¹-1=2047

Y3=2³-1=7,

Y2=2³³-1=8589934591=2047x4196353=23x89x7x599479

所以，N=2⁹⁹-1因子为： 23, 89, 7, 511, 599479

它们的循环节长度分别为：22, 44, 6, 24, 299739

其 N=2⁹⁹-1的倒数循环节长度Q=LCM(22, 44, 6, 24, 299739)= 2397912

例2：求N=2²³⁸-1的因子有哪些？

首先 238=2x7x17=2x119=14x17=34x7，

则其因子为：Y1=2²-1=3,

Y2=2⁷-1=127,

Y3=2¹⁷-1=130171

Y4=2¹⁴-1=16384,

Y5=2³⁴-1=（2¹⁷+1）（2¹⁷-1）=130173x130171

Y6=2¹¹⁹-1=？

Y7=2⁷+1，（由Y4衍生）

Y8=2¹⁷+1, （由Y5衍生）

例3：求N=2³⁰-1的因子有哪些？

首先 30=235=152=65=10*3，

则其因子为：Y1=2²-1=3,

Y2=2³-1=7,

Y3=2⁵-1=31

Y4=2⁶-1=63=7*9,

Y5=2¹⁰-1=1023

Y6=2¹⁵-1=32767=731151

Y7=2³+1=9=3*3，（由Y4衍生）

Y8=2⁵+1=33=3*11, （由Y5衍生）

从而求出N=230-1的所有因子 3, 11, 7, 31, 151, 331,

它们的循环节长度分别为： 1, 2, 6, 15, 75, 110

其 N=2³⁰-1的倒数循环节长度Q=LCM(1,2,6,15,75,110)=1650

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