特征函数

1.数列特征方程
2.矩阵特征方程
3.微分方程特征方程
4.积分方程特征方程

特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，这些等式描述了特定对象的特性。依据研究的对象不同，特征方程包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等等。

1.数列特征方程

数列的特征方程 可以用于求导 数列通项公式。
数列的二阶线性推导：
an+1=pan+qan−1a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}an+1=pan+qan−1
由待定系数法，对比下列等比公式:
an+1−tan=s(an−tan−1)a_{n+1}-ta_n=s(a_n-ta_{n-1})an+1−tan=s(an−tan−1)
可得：
{p=s+t...(1)y=st...(2)\left\{ \begin{aligned} p & = & s+t...(1) \\ y & = & st...(2)\\ \end{aligned} \right. {py==s+t...(1)st...(2)
一般情况下上面方程组有两组不同的解(t1,s1)(t2,s2)(t_1,s_1)(t_2,s_2)(t1,s1)(t2,s2)（特殊情况详见参考资料），依据等比数列通项公式可得吗：
{an+1−t1an=(a2−t1a1)s1n−1...(3)an+1−t2an=(a2−t2a1)s2n−1...(4)\left\{ \begin{aligned} a_{n+1}-t_1a_n& = & (a_2-t_1a_1)s_1^{n-1}...(3) \\ a_{n+1}-t_2a_n& = & (a_2-t_2a_1)s_2^{n-1}...(4)\\ \end{aligned} \right. {an+1−t1anan+1−t2an==(a2−t1a1)s1n−1...(3)(a2−t2a1)s2n−1...(4)
(3)-(4)化简得：
an=a2−t1a1(t2−t1)s1s1n+a2−t2a1(t2−t1)s1s2n=c1s1n+c2s2na_n=\frac{a_2-t_1a_1}{(t_2-t_1)s_1}s_1^n+\frac{a_2-t_2a_1}{(t_2-t_1)s_1}s_2^n=c_1s_1^n+c_2s_2^nan=(t2−t1)s1a2−t1a1s1n+(t2−t1)s1a2−t2a1s2n=c1s1n+c2s2n
即只需知道s1,s2s_1,s_2s1,s2，通过初始条件(a1,a2a_1,a_2a1,a2的已知值)求解系数c1,c2c_1,c_2c1,c2即可。

好像求到这里没有数列特征方程什么事啊！那数列的特征方程是怎么回事呢？其实，s1,s2s_1,s_2s1,s2是求数列特征方程的根。

通过求解第一个方程组可以求得s，将(2)式子带入(1)式，消去t，方程组变为求解下面二元一次方程：
s2−ps−q=0s^2-ps-q=0s2−ps−q=0

此方程即定义为数列二阶线性推到的特征方程。

以上推导过程，总结由数列的二次递推式an+1=pan+qan−1a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}an+1=pan+qan−1 求解通项公式的步骤：
step1:求解数列特征方程s2−ps−q=0−>(s1,s2)s^2-ps-q=0->(s_1,s_2)s2−ps−q=0−>(s1,s2)
step2:由初始条件求解c1,c2c_1,c_2c1,c2
step3: 通项公式为an=c1s1n+c2s2na_n=c_1s_1^n+c_2s_2^nan=c1s1n+c2s2n

参考资料:
https://wenku.baidu.com/view/8824638caef8941ea76e0592.html
https://blog.csdn.net/qq_20340417/article/details/78433961

2.矩阵特征方程

（矩阵的特征方程是我最经常看到的特征方程，在写这篇文章之前。我一直以为特征方程指的就是矩阵的特征方程。咦，闲话不多说）

矩阵的特征方程 可以用于求解矩阵的特征值。

每个事物都具有许多的特征，这些特征用于表示该事物的某些属性，矩阵也不例外地具有许多特征。在一个方阵A的众多特征中，其 特征值与特征向量 是两个比较典型的特征。一个方阵A的特征值λ\lambdaλ与特征向量xxx为满足下式：
Ax=λx...(2.1)Ax=\lambda x...(2.1)Ax=λx...(2.1)

上式的几何含义：对向量xxx做变换AAA，其效果等价于对xxx做伸缩变换，伸缩系数为λ\lambdaλ。

特征值和特征向量的定义和几何意义很明确，那么如何求解x,λx,\lambdax,λ
呢？将(2.1)式移项得：
Ax−λx=0−>(A−λI)x=0...(2.2)Ax-\lambda x=0->(A-\lambda I)x=0...(2.2)Ax−λx=0−>(A−λI)x=0...(2.2)
如果特征向量x=[x1,x−2,...,xn]x=[x_1,x-2,...,x_n]x=[x1,x−2,...,xn]为n维向量，那么对式(2.2)求解xxx的过程等价于求解一个n元一次方程组。n元一次方程组有非零解的充要条件为：系数矩阵的行列式为0，即：
∣A−λI∣=0...(2.3)|A-\lambda I|=0...(2.3)∣A−λI∣=0...(2.3)

式子(2.3)即为矩阵A的特征方程。

以上推导过程，总结求解方阵A 特征值与特征多项式的步骤：
step1:求解特征方程：∣A−λI∣=0|A-\lambda I|=0∣A−λI∣=0
step2:带λ\lambdaλ入(2.2)式求解特征向量xxx

参考资料：https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC/8309765?fr=aladdin

3.微分方程特征方程

微分方程的特征方程可以用于求解二阶常系数齐次常微分方程。

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式，如：
dydx=2x..(3.1)\frac{dy}{dx}=2x..(3.1)dxdy=2x..(3.1)

解微分方程就是找出未知函数，如：
y=x2+Cy=x^2+Cy=x2+C

CCC由微分方程的约束条件确定。

微分方程的阶数由方程中函数的几次导数决定,（3.1）式子为阶微分方程；只含有一个未知数的微分方程为常微分方程。

二阶常系数齐次常微分方程：
y′′+py′+qy=0...(3.2)y''+py'+qy=0...(3.2)y′′+py′+qy=0...(3.2)
只要满足式(3.2)的函数就是其解，可以假设y=erxy=e^{rx}y=erx,求解合适的rrr满足(3.2)式。(为啥设置y=erxy=e^{rx}y=erx的具体原因我忘记了)

将y=erxy=e^{rx}y=erx带入(3.2)式子，有：
(r2+pr+q)erx=0...(3.2)(r^2+pr+q)e^{rx}=0...(3.2)(r2+pr+q)erx=0...(3.2)

因为：erxe^{rx}erx恒大于0，所以只有：r2+pr+q=0...(3.4)r^2+pr+q=0...(3.4)r2+pr+q=0...(3.4)

的rrr才能使(3.3)式为0。式子(3.4)为二阶常系数齐次常微分方程的特征方程，解特征方程得r1,r2r_1,r_2r1,r2（假定有两个不相等的实数解，其他情况，详见参考资料），那么y1=er1x,y2=er2xy_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}y1=er1x,y2=er2x为方程的两个解，这两个解的各种线性组合也是微分方程的解，所以，微分方程的通解为：
y=c1er1x+c2er2x...(3.5)y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}...(3.5)y=c1er1x+c2er2x...(3.5)

以上推导过程，总结求解二阶常系数齐次常微分方程的步骤：
step1:求解特征方程：r2+pr+q=0r^2+pr+q=0r2+pr+q=0
step2:依据初始条件求解系数c1,c2c_1,c_2c1,c2
step3:带入3.5式，二阶常系数齐次常微分方程的通解为：y=c1er1x+c2er2x...(3.5)y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}...(3.5)y=c1er1x+c2er2x...(3.5)

参考资料：
https://baike.baidu.com/item/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/4763?fr=aladdin
https://blog.csdn.net/low5252/article/details/90758604

4.积分方程特征方程

积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。如果积分方程中只含有位置。
积分方程中有核函数k(x,y)k(x,y)k(x,y),核函数可以展开成特征值与特征函数加权和
k(x,y)=∑i=1∞1λiψi(x)ψi(y)k(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_i}\psi_i(x)\psi_i(y)k(x,y)=i=1∑∞λi1ψi(x)ψi(y)

具体内容详见下面资料。（本部分还不会，逃！总有一天我会回来的）

参考材料：https://wenku.baidu.com/view/344127efaf45b307e87197f2

学点数学(2)-特征函数相关推荐

计算MATLAB时间复杂度的例子,学编程数学到底有多重要？线性代数能否视为一门程序语言呢？...
点击上方蓝色字体,关注我们相信这么努力的你已经星标了我老九学堂你身边的IT导师学编程数学到底有多重要?在大学数学学科中线性代数是最为抽象的一门课从初等数学到线性代数思维跨度比微积分和概率统计 ...
作者：男，博士，西南财经大学经济数学学院讲师、硕士生导师
杨扬(1987-),男,博士,西南财经大学经济数学学院讲师.硕士生导师,主要研究方向为信用风险管理.管理信息系统.集团管控.风险投资.
信奥要学哪些数学知识学信奥要不要先学python
少儿编程要不要学? https://www.douyin.com/video/7170273165585681664 恒者无敌 https://www.douyin.com/video/7124331 ...
印度人教小孩学的数学(乘法口诀表背到19*19)
印度人教小孩学的数学新的乘法非常好用,不妨学一学... 当台湾妈妈因为小朋友会背99乘法表而高兴的同时,印度小孩已经在背1919乘法了! 难怪近几年印度进步得那么快- 印度的九九表是从 ...
小学数学测试软件报告,第二学小学数学期末测试质量分析报告
漫长的一个学期终于走向了终点,期末考试如期举行,成绩也已经出来.现对本次考试进行总结. 首先从试卷上来说,本次考试试卷涉及到"设而不求""分类讨论"思想,偏难, ...
学人工智能数学要好吗？
学人AI数学要好吗?我们现代的科技发展都需要学数学.数学确切地说,不属于自然科学,它是一种语言,描述世界的一种语言,是对自然界事务的归纳和总结,人工智能自然也不例外. 学人工智能数学要好吗? 数学不是 ...
为什么美国学生学的数学比我们简单，却能做出很牛逼的东西？
来源:IT有个圈儿＂美国给予不热爱数学的学生最基础的数学教育,而给予热爱数学的学生最高水平的数学教育.＂长久以来,中国人的迷思就是,为何「美国人数学这么差,还能出这么多牛逼科学家?」这个问题的答 ...
【学术相关】为什么美国学生学的数学比我们简单，却能做出很牛逼的东西？...
本文转自|视觉算法＂美国给予不热爱数学的学生最基础的数学教育,而给予热爱数学的学生最高水平的数学教育.＂长久以来,中国人的迷思就是,为何「美国人数学这么差,还能出这么多牛逼科学家?」这个问题的答案 ...
学生学不好数学关键在自己而不在老师
"学生学不好数学,不喜欢数学,最重要的原因是老师教不好.如果学生遇上笛卡尔,个个都会对数学感兴趣."中科院院士:著名数学家林群在和北京十一学校师生座谈时如是说(见2008年2月29 ...

学点数学(2)-特征函数