题目

有 n 桶液体，其其中正好有一桶含有毒药，其装的都是水。它们从外观看起来都一样。为了弄清楚哪只水桶含有毒药，你可以喂一些猪喝，通过观察猪是否会死进行判断，实验对象的反应时间为 d 。不幸的是，你只有 t 时间来确定哪桶液体是有毒的。

解析

香农熵公式

根据题意，最大测试次数为 num = ∣td∣\vert\frac{t}{d}\vert∣dt∣

只测试一轮：

考虑 num=1 时，也就是只进行一轮测试，容易想到可以使用与水同等数量的小猪来进行测试，n 个小猪喝 n 桶液体，哪个死翘翘哪一桶水有问题。

但这样的测试方式效率过低，我们其实可以结合二进制，让每个小猪同时测试多桶液体。这样祸害的小猪会少一点，更人道一些~

具体来说，我们需要 k 只小猪，k 满足 2k≥n{2^k} \geq n2k≥n。举个例子，当 n=5 时，可得 k = 3，即 3 只小猪即可一轮测出哪一桶是毒药，具体做法：

我们以 x1x2x3x_1 x_2 x_3x1x2x3 的形式表示 5 桶液体的 二进制 编号，如：第一桶液体二进制编号为 001 。
我们让第 i 只小猪喝二进制编号 xix_ixi 为 1 的液体。即：
- 第一只小猪需要喝的桶二进制编号为：100、101
- 第二只小猪需要喝的桶二进制编号为：010、011
- 第三只小猪需要喝的桶二进制编号为：001、011、101
经过反应时间 d 后，观察所有小猪的状态，第 i 只小猪死亡则代表含毒的水桶其编号第 i 位为 1 ，幸存则代表编号第 i 位为 0 。从而得到含毒的水桶的编号。举例：第二、三只小猪死亡，说明第三桶液体含毒；第一、三只小猪死亡，说明第五桶液体含毒……

测试 num 轮：

只测试一轮时我们用二进制为水桶编号，因此测试 num 轮时，我们用 num+1 进制为水桶编号。
小猪数量 k 需满足 (num+1)k≥n{(num+1)^k} \geq n(num+1)k≥n，即 k 为 num+1 进制的长度。
若某桶水的 num+1 进制中的第 x 位为 i（0<=i<=num），则代表将该水在第 i 轮喂给编号为 x 的小猪。

这样我们就得到了著名的 香农熵 公式：H(X)=−∑xP(x)log2[P(x)]H(X)=−\displaystyle \sum_{x}{P(x)log}_2 [P(x)]H(X)=−x∑P(x)log2[P(x)]

P(x) 代表随机事件 x 的发生概率。

本题中，记随机事件 A 为 n 桶液体中哪一个桶有毒，概率为 1n\frac{1}{n}n1 。

记随机事件 B 为在测试轮数为 num 时，所有实验对象的最终状态，每个实验对象的状态共有 num+1 种（一开始都是活的状态，每测一轮多一种状态的可能性——死 or 继续活），即 k 只小猪共有 C=(num+1)kC=(num+1)^kC=(num+1)k 种最终结果，可近似看做等概率 1C\frac{1}{C}C1 。

我们需要求得在满足 H(A)<=H(B)H(A)<=H(B)H(A)<=H(B) 前提下的最小 k 值。即：log2nlog2(num+1)<=k\frac{log_2{n}}{log_2(num+1)} <= klog2(num+1)log2n<=k

样例具体分析

假设：总时间 minutesToTest = 60，死亡时间 minutesToDie = 15，pow(x, y) 表示 x 的 y 次方，ceil(x) 表示 x 向上取整。

那么：

当前有 1 只小猪的话，最多可以喝 num = minutesToTest / minutesToDie = 4 次水
最多可以喝 4 次水，能够携带 base = times + 1 = 5 个的信息量，也就是：
- 喝 1 号死去，1 号桶水有毒
- 喝 2 号死去，2 号桶水有毒
- 喝 3 号死去，3 号桶水有毒
- 喝 4 号死去，4 号桶水有毒
- 喝了上述所有水依然活蹦乱跳，5 号桶水有毒
- 反推得，当 buckets ≤ 5 时，小猪数量 answer = 1 。
那么 2 只小猪可以验证的范围最多到多少呢？我们把每只小猪携带的信息量（能测多少桶液体）看成是 base ，2 只小猪的信息量就是 pow(base,2)=pow(5,2)=25pow(base, 2) = pow(5, 2) = 25pow(base,2)=pow(5,2)=25，所以当 5≤buckets≤255 ≤ buckets ≤ 255≤buckets≤25 时，anwser = 2 。
那么可以得到公式关系：pow(base,ans)≥bucketspow(base, ans) ≥ bucketspow(base,ans)≥buckets，取对数后即为：ans≥log(buckets)log(base)ans ≥ \frac{log(buckets)}{log(base)}ans≥log(base)log(buckets)，因为 ans 为整数，所以 ans=ceil(log(buckets)log(base))ans = ceil(\frac{log(buckets)}{log(base)})ans=ceil(log(base)log(buckets))

代码

class Solution {public:int poorPigs(int buckets, int minutesToDie, int minutesToTest) {int num = minutesToTest/minutesToDie;return (int)ceil(log(buckets) / log(num+1));}
};

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香农信息熵之可怜的小猪

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