简单线段树

2021年7月30

线段树是干什么的？

更新，维护，查询某区间的某项值，如区间和等。

线段树的原理

与树状数组类似，线段树通过直接建树来保存区间的结点，如图：

如何建图？

下面以求序列区间和为例：

当存放一个数字时，它需要将每个子区间的值返回到父节点之上，依次返回直到最大的区间上。此时，一个区间接收到的值就是它所有子区间值的和。

由于每个区间的大小都为1<<i,0<=i<=n,因此，我们构建的树是一颗二叉树。按行进行标号，易得第i个区间的两个子区间标号分别为i * 2与i * 2 + 1。

依据这个性质，易想到使用递归方式进行存图。代码如下：

int built(int i, int l, int r){tre[i].l=l;tre[i].r=r;//更新第i个区间的左右边界if(l==r) return tre[i].sum=a[i];//若区间大小为1，则更新值后直接返回int mid=(l+r/2);return tre[i].all+=built(i*2,l,mid)+built(i*2+1,mid+1,r);//其区间和等于左右子树的区间和,更新后返回
}

单点更新

对于每次查找，只需要找到其位置，更新即可

void onemodify(int i,int pos,int k){if (tre[i].r<l || tre[i].l>r)return;if (tre[i].l >= l && tre[i].r <= r) {tre[i].all += k;}modify(i * 2, l, r, k);modify(i * 2 + 1, l, r, k);
}

如何对整个区间进行修改？

给出区间l与r，要求区间内每个点加k。从树上进行遍历，对每个在区间l-r内的点进行更新值。

void modify(int i, int l, int r, int k) {if (tre[i].r<l || tre[i].l>r)return;//不在区间内，直接返回if (tre[i].l <= l && tre[i].r >= r) {tre[i].all += k*(min(r-l,tre[i].r - tre[i].l) +1);//更改区间在目前结点内，更新最大可更新值}modify(i * 2, l, r, k);modify(i * 2 + 1, l, r, k);
}

但是，这种更新方式，其复杂度是O(nlog(n))，再加上m次更新，其复杂度达到了O(nmlog(n))，比直接枚举还要多了log级别的时间复杂度。

如何将其优化到O(log(n))的复杂度？

增加一个标记：懒惰标记

此标记意味着对于此区间内所有子区间的结点，都有增加了k。

void modify(int i, int l, int r, int k){if (tre[i].r<l || tre[i].l>r)return;tre[i].all += k * (min(r, tre[i].r) - max(l, tre[i].l) + 1);//两区间交集就是需要更新值的部分if ((tre[i].l >= l && tre[i].r <= r)) {tre[i].lazy += k;return;}modify(i * 2, l, r, k);modify(i * 2 + 1, l, r, k);
}

此时，就不用查找到每一个长度为1的区间了。

注：此时需在建图时将tre中的lazy初始化为0.

模板样例

第一行输入三个数n,m,q,分别为数组大小，修改次数及查询次数，随后一行有n个数字，分别是a1…n，第3行到第2+m行，每行三个数，分别为区间边界及每个数修改的值，接下来q行，每行两个数，分别为要查询区间的左右边界。

每次查询，输出一行数字，代表区间和。

输入样例：

8 4 7
1 5 2 3 6 9 7 2
2 3 2
3 5 7
3 3 1
4 6 8
1 8
3 3
3 3
2 5
4 8
6 8
5 7

输出样例：

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>using namespace std;struct Tree {int l, r;int all;int lazy;
}tre[1005];int n, m, q;
int  sic[1005], ans;
string row;int builtre(int i, int l, int r) {tre[i].l = l; tre[i].r = r; tre[i].lazy = 0;if (l == r)return tre[i].all=sic[l];int mid = (l + r) / 2;tre[i].all += builtre(i * 2, l, mid);tre[i].all += builtre(i * 2 + 1, mid + 1, r);return tre[i].all;
}void modify(int i, int l, int r, int k) {if (tre[i].r<l || tre[i].l>r)return;tre[i].all += k * (min(r, tre[i].r) - max(l, tre[i].l) + 1);if ((tre[i].l >= l && tre[i].r <= r)) {tre[i].lazy += k;return;}modify(i * 2, l, r, k);modify(i * 2 + 1, l, r, k);
}int solve(int i, int l, int r,int lazy) {if (tre[i].l >= l && tre[i].r <= r) {ans += tre[i].all;ans += (tre[i].r - tre[i].l + 1) * lazy;return ans;}if (tre[i].l > r || tre[i].r < l)return 0;if (tre[i].r >= l) solve(i * 2, l, r,lazy + tre[i].lazy);if (tre[i].l <= r) solve(i * 2 + 1, l, r, lazy + tre[i].lazy);return ans;
}int main() {cin >> n >> m >> q;for (int i = 0; i < n; i++){cin >> sic[i + 1];}builtre(1, 1, n);int a, b, k;while (m--) {cin >> a >> b >> k;modify(1, a, b, k);}while (q--) {cin >> a >> b;ans = 0;cout << solve(1, a, b, tre[1].lazy) << endl;}return 0;
}

后练习代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>
typedef long long ll;using namespace std;int n, m;
int sic[100005];struct P {int l, r;int key, lazy;
}tre[100005];int built(int p, int l, int r) {tre[p].l = l; tre[p].r = r;if (l == r)return tre[p].key = sic[l];int mid = (l + r >> 1);return tre[p].key = built(p * 2, l, mid) + built(p * 2 + 1, mid + 1, r);
}void insert(int p, int l, int r, int key) {if (tre[p].r<l || tre[p].l>r)return;if (tre[p].l >= l && tre[p].r <= r) {tre[p].lazy += (tre[p].r-tre[p].l+1)*key; return;}tre[p].lazy += (1+min(r - l, min(tre[p].r - l, r - tre[p].l))) * key;insert(2 * p, l, r, key); insert(2 * p + 1, l, r, key);
}int findkey(int p, int l, int r) {if (tre[p].r<l || tre[p].l>r)return 0;if (tre[p].l >= l && tre[p].r <= r) return tre[p].key + tre[p].lazy;return findkey(2 * p, l, r) + findkey(2 * p + 1, l, r);
}int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> sic[i];}built(1, 1, n);while (1) {int a, l, r, k;cin >> a;if (!a)break;cin >> l >> r;if (a == 2) {cin >> k;insert(1, l, r, k);}elsecout << findkey(1, l, r) << endl;}return 0;
}

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