斗地主（矩阵快速幂）

地斗主

思路

看到这nnn非常大，感觉一定是个结论公式题，但是感觉又不像是排列组合，于是可以考虑矩阵快速幂了，所以关键就是得得到递推公式了。

我们将棋盘分成两部分n−num,numn - num, numn−num,num我们假定显然对num=1,2,3,4,5num = 1, 2, 3, 4, 5num=1,2,3,4,5分别有1,4,2,3,2,31, 4, 2, 3, 2, 31,4,2,3,2,3种分法，对应到原来一整块的部分上也就是ansn=ansn−1+4ansn−2+2ansn−3+3ansn−4……ans_n = ans_{n - 1} + 4ans_{n - 2} + 2 ans_{n - 3} + 3 ans_{n - 4}……ansn=ansn−1+4ansn−2+2ansn−3+3ansn−4……,并且后面的变化是由2,3,2,32, 3, 2, 32,3,2,3不断循环下去的，所以我们只要将ansn−ansn−1ans_n - ans_{n - 1}ansn−ansn−1即可得到递推式ansn=ansn−1+5ansn−2+ansn−3−ansn−4ans_n = ans_{n - 1} + 5ans_{n - 2} + ans_{n - 3} - ans_{n - 4}ansn=ansn−1+5ansn−2+ansn−3−ansn−4

接下来就是这么一个简单的矩阵乘法了
[a4a3a2a1][1100501000010000]\left [ \begin{matrix} a_4 & a_3 & a_2 & a_1 \end{matrix} \right] \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0\\5 & 0 & 1 & 0\\0&0&0&1\\ 0&0&0&0\end{matrix}\right] [a4a3a2a1]⎣⎢⎢⎡1500100001000010⎦⎥⎥⎤

代码

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl '\n'
#define mid (l + r >> 1)
#define lson rt << 1, l, mid
#define rson rt << 1 | 1, mid + 1, r
#define ls rt << 1
#define rs rt << 1 | 1using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f = 1, x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-')    f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}return f * x;
}int mod, n;struct matrix {ll a[4][4];matrix operator * (matrix & t) {matrix temp;for(int i = 0; i < 4; i++) {for(int j = 0; j < 4; j++) {temp.a[i][j] = 0;for(int k = 0; k < 4; k++) {temp.a[i][j] = (temp.a[i][j] + a[i][k] * t.a[k][j]) % mod;}}}return temp;}
};int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);int T = read();while(T--) {n = read(), mod = read();if(n <= 4) {if(n == 1) printf("%d\n", 1);else if(n == 2) printf("%d\n", 5);else if(n == 3) printf("%d\n", 11);else printf("%d\n", 36);continue;}matrix ans = {36, 11, 5, 1};matrix a = {1, 1, 0, 0,5, 0, 1, 0,1, 0, 0, 1,-1, 0, 0, 0};n -= 4;while(n) {if(n & 1) ans = ans * a;a = a * a;n >>= 1;}printf("%lld\n", (ans.a[0][0] % mod + mod) % mod);}return 0;
}

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