矩阵快速幂+构造方法
与快速幂一样,可以将递推式通过二进制的方式来进行优化,这个学了快速幂就是十分容易理解
大概的板子如下:
struct mat///自己定义大小的矩阵
{ll m[11][11];
};
mat mulmat(mat A,mat B)///两个矩阵相乘
{mat C;memset(C.m,0,sizeof(C.m));for(int i=0;i<n;i++)///注意n是自己构造矩阵的大小for(int j=0;j<n;j++)for(int k=0;k<n;k++)C.m[i][j]=(C.m[i][j]+A.m[i][k]*B.m[k][j])%mod;return C;
}
mat qmod_mat(mat A,ll b)///A为变换矩阵,b为幂
{mat ans;memset(ans.m,0,sizeof(ans.m));for(int i=0;i<10;i++) ans.m[0][i]=i;///给自己的初始矩阵赋值,一般初始矩阵和变换矩阵都是固定的while(b){if(b&1) ans=mulmat(ans,A);A=mulmat(A,A);b>>=1;}return ans;///最后的矩阵,答案
}
int main()
这个与快速幂写法略有不同,主要是因为矩阵快速幂需要自己构造你的变换函数,而快速幂的a仅仅是一个底数。
构造矩阵快速幂的方法是这种题的重要难点:
矩阵构造方法
Fibonacci数列:F(0)=1 , F(1)=1 , F(n)=F(n-1)+F(n-2)
我们以前快速求Fibonacci数列第n项的方法是 构造常系数矩阵
(一) Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项快速求法(不考虑高精度)
解法:
考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据Fibonacci数列的递推关系,我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A,得到矩阵:【f[n-1],f[n]】。
即:【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】
很容易构造出这个2×2矩阵A,即:
0 1
1 1
所以,有【f[1],f[2]】×A=【f[2],f[3]】
又因为矩阵乘法满足结合律,故有:
【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】
这个矩阵的第一个元素f[n]即为所求。
(二) 数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法(不考虑高精度)
解法:
仿照前例,考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],1】,希望求得某3×3的矩阵A,使得此1×3的矩阵乘以A得到矩阵:【f[n-1],f[n],1】
即:【f[n-2],f[n-1],1】* A =【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】
容易构造出这个3×3的矩阵A,即:
0 1 0
1 1 0
0 1 1
故:【f[1],f[2],1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】
(三)数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法(不考虑高精度).
解法:
仿照前例,考虑1×4的矩阵【f[n-2],f[n-1],n,1】,希望求得某4×4的矩阵A,使得此1×4的矩阵乘以A得到矩阵:【f[n-1],f[n],n+1,1】
即:【f[n-2],f[n-1],n,1】* A = 【f[n-1],f[n],n+1,1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】
容易构造出这个4×4的矩阵A,即:
0 1 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 1 1
故:【f[1],f[2],3,1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】
(四) 数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法(不考虑高精度).
解法:
仿照之前的思路,考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】,我们希望通过乘以一个3×3的矩阵A,得到1×3的矩阵:【f[n-1],f[n],s[n-1]】
即:【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * A = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】
容易得到这个3×3的矩阵A是:
0 1 0
1 1 1
0 0 1
这种方法的矩阵规模是(r+1)*(r+1)
f(1)=f(2)=s(1)=1 ,所以,有
【f(1),f(2),s(1)】* A = 【f(2),f(3),s(2)】
故:【f(1),f(2),s(1)】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n)】
(五) 数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法(不考虑高精度).
解法:
考虑1×5的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,
我们需要找到一个5×5的矩阵A,使得它乘以A得到如下1×5的矩阵【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】
即:【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* A =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】
=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】
容易构造出A为:
0 1 0 0 0
1 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 1 0 1 1
故:【f(1),f(2),s(1),3,1】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】
一般地,如果有f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s
可以构造矩阵A为:
0 q 0 0 0
1 p 1 0 0
0 0 1 0 0
0 r 0 1 0
0 s 0 1 1
更一般的,对于f[n]=Sigma(a[n-i]*f[n-i])+Poly(n),其中0<i<=某常数c, Poly (n)表示n的多项式,我们依然可以构造类似的矩阵A来解决问题。
设Degree(Poly(n))=d, 并规定Poly(n)=0时,d=-1,此时对应于常系数线性齐次递推关系。则本方法求前n项和的复杂度为:
((c+1)+(d+1))3*logns
例如:A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2);给定三个值N,X,Y求S(N):S(N) = A(0)2 +A(1)2+……+A(n)2。
解:考虑1*4 的矩阵【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】
我们需要找到一个4×4的矩阵A,使得它乘以A得到1×4的矩阵
【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】
即:【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】* A = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】
= 【s[n-2]+a[n-1]^2 , x^2 * a[n-1]^2 + y^2 * a[n-2]^2 + 2*x*y*a[n-1]*a[n-2] ,
a[n-1]^2 , x*a[n-1]^2 + y*a[n-2]a[n-1]】
可以构造矩阵A为:
1 0 0 0
1 x^2 1 x
0 y^2 0 0
0 2xy 0 y
故:【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n-1) = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】
所以:【S[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * A^(n) = 【s[n],a[n+1]^2,a[n]^2,a[n+1]*a[n]】
若A = (B * C ) 则AT = ( B * C )T = CT * BT
附:大佬博客链接
矩阵快速幂+构造方法相关推荐
- 矩阵快速幂(Matrix_Fast_Power)
一.基础知识 (1)矩阵乘法 https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/82899737 简单的说矩阵就是二维数组,数存在里面,矩阵乘 ...
- 矩阵快速幂(教主传授)
教主传授 快速幂的思想: 假设我们要求a^b,最朴素的方法就是不断地乘a,乘b次,复杂度O(b). 如果b很大,10^9,就需要用快速幂的思想. 例:a=3,b=100: 100的二进制为:11001 ...
- 【做题】SRM701 Div1 Hard - FibonacciStringSum——数学和式&矩阵快速幂
原文链接 https://www.cnblogs.com/cly-none/p/SRM701Div1C.html 题意:定义"Fibonacci string"为没有连续1的01串 ...
- 快速幂 + 矩阵快速幂
快速幂 1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #define LL lo ...
- HDU4549(矩阵快速幂+快速幂)
f(n)=a^f(n-1) + b^f(n-2):计算矩阵部分用矩阵快速幂:计算a的幂次和b的幂次用快速幂. #include<iostream> #include<algorith ...
- [HNOI2008]GT考试[矩阵快速幂+kmp优化的dp]
解题思路:假如说我们用f[i]表示长度为i的串能组合成无不吉利数字的组合的个数的话我们无法找到f[i]和f[i+1]的关系,就是我们下一位填某个数字会不会出现不吉利串,这就和你前面的串末尾于不吉利串重 ...
- I-Matrix Power Series POJ - 3233 矩阵快速幂+分治
I-Matrix Power Series POJ - 3233 矩阵快速幂+分治 Problem Description Given a n × n matrix A and a positive ...
- H - Fibonacci POJ - 3070 (矩阵快速幂)
H - Fibonacci POJ - 3070 (矩阵快速幂) Description In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and ...
- HDU 6185 Covering 矩阵快速幂 递推
题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6185 题目描述: 一个4*n的矩形, 你用1*2的矩形覆盖有多少种方案, n <= 1e18 ...
最新文章
- 基于kryo序列化方案的memcached-session-manager多memcached...
- sigprocmask和sigsuspend转
- 黑莓blackberry手机刷ROM 的详细教程
- H3C TFTP操作示例
- 【SpringMVC入门】SpringMVC环境搭建、接收参数的几种方式、视图解析器、@ResponseBody
- ecshop在首页调用dedecms文章
- 十 web爬虫讲解2—Scrapy框架爬虫—Scrapy安装—Scrapy指令
- android 7.0 解锁亮屏,Android7.0亮屏流程分析
- C语言定义直线的数据类型,C语言 | 数据类型
- python使用如下方法规范化数组_python归一化多维数组的方法
- Oracle 学习笔记二 Create table
- 安卓是java ios c_如何为Android和iOS使用相同的C ++代码?
- 查询语句的练习45道题
- 大数据之-入门_大数据发展前景---大数据之hadoop工作笔记0005
- Linux下的磁盘分区与加密
- 句柄泄漏与应用程序体验查找服务(AELookupSvc)
- dncnn图像去噪_基于强化学习的图像去噪方法与流程
- Java调用WebService接口
- Unity 材质之_stander shader
- oracle新增字段排序,oracle指定排序的方法详解