正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1654F

题目大意

给出一个长度为2n2^n2n的字符串sss（下标为0∼2n−10\sim 2^n-10∼2n−1）

你要找到一个xxx满足ti=sixorxt_{i}=s_{i\ xor\ x}ti=si xor x，并且ttt的字典序最小。

1≤n≤181\leq n\leq 181≤n≤18

解题思路

考虑设f(i,x)f(i,x)f(i,x)表示选的值为xxx时，最终的ttt的前2i2^i2i个字符。

那么我们有
f(i,x)=f(i−1,x)+f(i−1,xxor2i−1)f(i,x)=f(i-1,x)+f(i-1,x\ xor\ 2^{i-1})f(i,x)=f(i−1,x)+f(i−1,x xor 2i−1)
（就是和另一边拼起来）

发现这个部分和SASASA的有点像，我们考虑倍增来做，枚举这个iii。

假设我们已经得到所有f(i−1,x)f(i-1,x)f(i−1,x)的排名，那么当我们比较f(i,x)f(i,x)f(i,x)和f(i,y)f(i,y)f(i,y)时，优先比较f(i−1,x)f(i-1,x)f(i−1,x)和f(i−1,y)f(i-1,y)f(i−1,y)，如果相等那么比较f(i−1,xxor2i−1)f(i-1,x\ xor\ 2^{i-1})f(i−1,x xor 2i−1)和f(i−1,yxor2i−1)f(i-1,y\ xor\ 2^{i-1})f(i−1,y xor 2i−1)即可。

然后我们又可以O(1)O(1)O(1)比较然后O(2nn)O(2^nn)O(2nn)得出新的iii的所有f(i,x)f(i,x)f(i,x)的排名。

时间复杂度：O(2nn2)O(2^nn^2)O(2nn2)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<18;
int n,m,r,p[N],a[N],b[N];
char s[N];
bool cmp(int x,int y){if(a[x]==a[y])return a[x^r]<a[y^r];return a[x]<a[y];
}
int main()
{scanf("%d",&n);m=(1<<n); scanf("%s",s);for(int i=0;i<m;i++)p[i]=i;for(int i=0;i<m;i++)a[i]=s[i]-'a';sort(p,p+m,cmp);for(int i=0;i<n;i++){r=1<<i;sort(p,p+m,cmp);b[p[0]]=1;for(int j=1;j<m;j++)b[p[j]]=b[p[j-1]]+cmp(p[j-1],p[j]);for(int j=0;j<m;j++)a[j]=b[j];}for(int i=0;i<m;i++)printf("%c",s[i^p[0]]);return 0;
}

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