正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P1232

题目大意

给出nnn个点的树的dfsdfsdfs序和bfsbfsbfs序，求所有合法的树的平均深度。

1≤n≤2×1051\leq n\leq 2\times 10^51≤n≤2×105

解题思路

bfsbfsbfs应该是最好开始考虑的，因为bfsbfsbfs序的深度肯定是递增的，所以可以把bfsbfsbfs序分成若干段相同深度的段，注意到dfsdfsdfs序对bfsbfsbfs序的限制是在同一层内的dfsdfsdfs序一定要递增。

记bib_ibi表示排在bfsbfsbfs序的第iii个对应的dfsdfsdfs序，那么如果bi>bi+1b_i>b_{i+1}bi>bi+1那么处于iii位置的节点就必须要分层，其他都可以选择分不分层。

然后再考虑dfsdfsdfs序的其他限制，考虑dfsdfsdfs序上相邻的节点，记aia_iai表示排在dfsdfsdfs序的第iii个对应的bfsbfsbfs序。

此时如果ai>ai+1a_i>a_{i+1}ai>ai+1那么显然iii没有儿子并且dfsdfsdfs序直接跳到了其祖先的某个儿子处，不受影响。如果ai+1=ai+1a_i+1=a_{i+1}ai+1=ai+1那么此时i+1i+1i+1既可能在iii的同层也可能在iii的下一层，但是如果ai+1<ai+1a_{i}+1<a_{i+1}ai+1<ai+1那么在ai+1a_{i+1}ai+1之前不可能分层，因为如果分了那么肯定会优先dfsdfsdfs下一层的节点，所以只有可能是bfsbfsbfs位于ai∼ai+1−1a_i\sim a_{i+1}-1ai∼ai+1−1的在同一层。

然后剩下的节点都是既可以分层也可以不分层的，这些点会产生0.50.50.5的贡献。

时间复杂度：O(n)O(n)O(n)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,a[N],b[N],A[N],B[N],s[N],ans;
int main()
{scanf("%d",&n);ans=4;s[1]=1;s[2]=-1;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),A[a[i]]=i;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]),B[b[i]]=i;for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=B[a[i]],b[i]=A[b[i]];for(int i=1;i<n;i++)if(a[i]+1<a[i+1])s[a[i]]++,s[a[i+1]]--;for(int i=1;i<n;i++)if(b[i]>b[i+1])s[i]++,s[i+1]--,ans+=2;for(int i=1,k=0;i<n;i++)k+=s[i],ans+=k?0:1;printf("%.3lf\n",ans/2.0);return 0;
}

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