1 数据结构-第五章-树与二叉树-思维导图

数据结构-第五章-树与二叉树-思维导图缩略图展示如下图1所示：

图1

2 思维导图-补充

1、第五章中“并查集-基本操作”代码如下：

#define SIZE 13
int UFSets[SIZE];   //集合元素数组//初始化并查集
void Initial(int S[]){for(int i=0;i<SIZE;i++)S[il=-1;
}//Find"查"操作，找x所属集合(返回x所属根结点)
int Find(int S[],int x){while(S[x]>=0)  //循环寻找x的根X=S[x];return x;      //根的s[]小于0
}//Union"并"操作，将两个集合合并为一个
void Union(int S[],int Rootl,int Root2){//要求Root1与Root2是不同的集合if(Root1==Root2)  return;//将根Root2连接到另一根Root1下面S[Root2]=Root1;
}

2、第五章中“并查集-Union优化”代码如下：

#define SIZE 13
int UFSets[SIZE];   //集合元素数组//初始化并查集
void Initial(int S[]){for(int i=0;i<SIZE;i++)S[il=-1;
}//Find"查"操作，找x所属集合(返回x所属根结点)
int Find(int S[],int x){while(S[x]>=0)  //循环寻找x的根X=S[x];return x;      //根的s[]小于0
}//Union"并"操作，小树合并到大树
void Union(int S[],int Rootl,int Root2){if(Rootl==Root2) return;if(S[Root2]>S[Root1]){     //Root2结点数更少S[Root1] += S[Root2];   //累加结点总数S[Root2] = Root1;        //小树合并到大树} else {S[Root2] += S[Root1];    //累加结点总数S[Root1] = Root2;      //小树合并到大树}
}

3、第五章中“并查集-Find优化(压缩路径)”代码如下：

#define SIZE 13
int UFSets[SIZE];   //集合元素数组//初始化并查集
void Initial(int S[]){for(int i=0;i<SIZE;i++)S[il=-1;
}//Find"查"操作优化，先找到根节点，再进行"压缩路径"
int Find(int S[],int x){int root = x;while(S[root]>=0) root=S[root];  //循环找到根while(x!=root){     //压缩路径int t=S[x];      //t指向x的父节点S[x]=root;       //x直接挂到根节点下x=t;}return root;       //返回根节点编号
}//Union"并"操作，小树合并到大树
void Union(int S[],int Rootl,int Root2){if(Rootl==Root2) return;if(S[Root2]>S[Root1]){     //Root2结点数更少S[Root1] += S[Root2];   //累加结点总数S[Root2] = Root1;        //小树合并到大树} else {S[Root2] += S[Root1];    //累加结点总数S[Root1] = Root2;      //小树合并到大树}
}

3 小结

3.1 知识点小结

1、树的性质：总结点数=总度数+1。

2、度为m的树、m叉树区别：
树的度------各结点的度的最大值；
m叉树------每个结点最多只能有m个孩子的树；

度为m的树	m叉树
任意结点的度≤m（最多m个孩子）	任意结点的度≤m（最多m个孩子）
度为m的树第i层至多有m^i-1个结点(i≥1)	m叉树第i层至多有m^i-1个结点(i≥1)
至少有一个结点度=m（有m个孩子）	允许所有结点的度都<m
一定是非空树，至少m+1个结点	可以是空树
高度为h，度为m的树至少有h+m-1个结点	高度为h的m叉树至少有h个结点

3、高度为h的m叉树至多有mh−1m−1{ m^h-1 \over m-1}m−1mh−1个结点。

4、满二叉树是高度为h且含有2^h-1个结点的二叉树。

5、完全二叉树中度为1的结点要么为0要么为1。
若完全二叉树有2k（偶数）个结点，则必有n₁ = 1，n₀ = k，n₂ = k-1；
若完全二叉树有2k-1（奇数）个结点，则必有n₁ = 0，n₀ = k，n₂ = k-1。

6、先序遍历、中序遍历、后序遍历利用栈进行实现，层次遍历利用队列进行实现。

7、前序序列、后序序列、层序序列的两两组合无法唯一确定一棵二叉树。

8、树和森林的遍历

树	森林	二叉树
先根遍历	先序遍历	先序遍历
后根遍历	中序遍历	中序遍历

9、高度为h(h>0)的完全二叉树对应的森林所含的树的个数一般是h-1个，满二叉树对应的森林所含的树的个数是h个。

10、构造哈夫曼树过程中，共建了n-1个结点（双分支结点），因此哈夫曼树结点总数为2n-1；构造哈夫曼树过程中每次都选择2棵树作为新结点的孩子，因此不存在度为1的结点。

3.2 习题小结

以下题目均来自王道考研系列-《数据结构考研复习指导》。

1、一棵有n₀个叶子结点的完全二叉树，最多有几个结点，最少有几个结点。

1、【解析】在完全二叉树中，度为1的结点n₁有两种取值，即n₁ = 0或n₁ = 1。当n₁=1时，结点数最多，即n₀ + n₁ + n₂ = n₀ + 1 + n₀ - 1 = 2n₀个结点；当n₁ = 0时，结点数最少，即n₀ + n₁ + n₂ = n₀ + 0 + n₀ - 1 = 2n₀ - 1个结点；

2、若一棵完全二叉树有768个结点，则该二叉树中叶结点的个数是几个。

2、【解析】方法一：根据完全二叉树的性质：最后一个分支结点序号为⌊n/2⌋{\lfloor {n/2} \rfloor}⌊n/2⌋，那么⌊768/2⌋{\lfloor {768/2} \rfloor}⌊768/2⌋=384，也就是说前384个结点是非叶结点，那么剩下768-384=384个结点就是叶子结点。
方法二：在完全二叉树中，叶子结点个数比非叶子结点多一个或者二者相等，即n₁ = 0时，叶结点个数 = 非叶子结点个数 + 1；n₁ = 1时，叶结点个数 = 非叶子结点个数。总结点数 = n₀ + n₁ + n₂ = n₀ + n₁ + n₀ - 1 = 2n₀ + n₁ -1 = 768，即 2n₀ + n₁ = 769，又因为结点数必须是整数，所以n₁在可取值范围内取1，把n₁ = 1代入，即2n₀ = 768，n₀ = 384。
方法三：根据3.1小结中第5点。因为768是偶数，所以必有n₁ = 1，n₀ = 384，n₂ = 383，故叶子结点为384个。
补充：对于满二叉树，叶结点个数 = 非叶子结点个数 + 1

3、一棵哈夫曼树共有215个结点，对其进行哈夫曼编码，共能得到多少个不同的码字。

3、【解析】哈夫曼树有多少叶子结点，就有多少个不同的码字。哈夫曼树中只有度为0和度为2的两种结点，即n₀ + n₂ = n₀ + n₀ - 1 = 2n₀ - 1 = 215，n₀ = 108。

4、若某二叉树有5个叶结点，其权值分别为10，12，16，21，30，则其最小的带权路径长度(WPL)是多少。

4、【解析】方法一：画出对应哈夫曼树后计算，如下图2所示：

图2

方法二：WPL=该树所有非叶子结点的权值之和，可以不画哈夫曼树，求出所有非叶结点的权值即可。即10 + 12 = 22，16 + 21 = 37，22 + 30 = 52，37 + 52 = 89，则WPL = 22 + 37 + 52 + 89 = 200。

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