正题

题目链接:http://www.ybtoj.com.cn/contest/122/problem/3

题目大意

S(i)S(i)S(i)表示iii的约数个数，QQQ次询问给出n,mn,mn,m求
∑a=1n∑b=1mS(a2)×S(b2)×S(a×b)\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^mS(a^2)\times S(b^2)\times S(a\times b)a=1∑nb=1∑mS(a2)×S(b2)×S(a×b)

1≤Q≤104,1≤n,m≤2×1051\leq Q\leq 10^4,1\leq n,m\leq 2\times 10^51≤Q≤104,1≤n,m≤2×105

解题思路

前面的推式子挺套路的
首先我们要搞定S(n2)S(n^2)S(n2)这个东西，一个经典的结论就是S(n×m)=∑i∣n∑j∣m[gcd(i,j)=1]S(n\times m)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)=1]S(n×m)=∑i∣n∑j∣m[gcd(i,j)=1]。莫反一下就有
S(a×b)=∑d∣(a×b)μ(d)∑i×d∣a∑j×d∣b1S(a\times b)=\sum_{d|(a\times b)}\mu(d)\sum_{i\times d|a}\sum_{j\times d|b}1S(a×b)=d∣(a×b)∑μ(d)i×d∣a∑j×d∣b∑1
所以就有
S(n2)=∑d∣nμ(d)S(nd)2S(n^2)=\sum_{d|n}\mu(d)S(\frac{n}{d})^2S(n2)=d∣n∑μ(d)S(dn)2
用线性筛筛出前面的SSS，然后O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)求出h(n)=S(n2)h(n)=S(n^2)h(n)=S(n2)

然后化一下式子
∑a=1n∑b=1mh(a)×h(b)∑i∣a∑j∣b[gcd(i,j)=1]\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^mh(a)\times h(b)\sum_{i|a}\sum_{j|b}[gcd(i,j)=1]a=1∑nb=1∑mh(a)×h(b)i∣a∑j∣b∑[gcd(i,j)=1]
∑d=1μ(d)(∑d∣i∑i∣ah(a))(∑d∣j∑j∣bh(b))\sum_{d=1}\mu(d)(\sum_{d|i}\sum_{i|a}h(a))(\sum_{d|j}\sum_{j|b}h(b))d=1∑μ(d)(d∣i∑i∣a∑h(a))(d∣j∑j∣b∑h(b))
∑d=1μ(d)(∑d∣aS(ad)h(a))(∑d∣bS(bd)h(b))\sum_{d=1}\mu(d)(\sum_{d|a}S(\frac{a}{d})h(a))(\sum_{d|b}S(\frac{b}{d})h(b))d=1∑μ(d)(d∣a∑S(da)h(a))(d∣b∑S(db)h(b))

然后就好像没得化简了，先处理出F(d,n)=∑i=1nh(i×d)S(i)F(d,n)=\sum_{i=1}^nh(i\times d)S(i)F(d,n)=∑i=1nh(i×d)S(i)

发现ddd很大的时候后面那个东西的取值就很小，但是ddd很多，需要快速处理。

设定一个分界值TTT，每次小于TTT的部分我们就暴力用FFF数组计算，大于TTT的部分我们预处理出一个
G(d,i,j)=∑x=T+1dF(i)F(j)μ(d)G(d,i,j)=\sum_{x=T+1}^dF(i)F(j)\mu(d)G(d,i,j)=x=T+1∑dF(i)F(j)μ(d)
然后整除分块计算。

这里的kkk取N23N^{\frac{2}{3}}N32会平均一些，时间复杂度O(n43+Qn23)O(n^{\frac{4}{3}}+Qn^{\frac{2}{3}})O(n34+Qn32)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=1<<30;
ll q,n,m,cnt,pri[N],mu[N],S[N],sg[N],g[N],o[N];
vector<int>f[N],d[N];
bool v[N];
void prime(){mu[1]=sg[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1,g[i]=2,sg[i]=2;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){g[i*pri[j]]=g[i]+1;sg[i*pri[j]]=sg[i]/g[i]*g[i*pri[j]];break;}mu[i*pri[j]]=-mu[i];g[i*pri[j]]=2;sg[i*pri[j]]=sg[i]*sg[pri[j]];}}for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=i;j<N;j+=i)(S[j]+=sg[j/i]*sg[j/i]*mu[i]%P)%=P;return;
}
signed main()
{freopen("math.in","r",stdin);freopen("math.out","w",stdout);prime();scanf("%lld",&q);ll lim=2e5;ll T=(ll)pow(lim,2.0/3.0)+1;f[0].resize(lim+1);for(ll i=1;i<=lim;i++){f[i].push_back(0); for(ll j=1;j<=lim/i;j++){ll tmp=f[i][j-1];f[i].push_back((tmp+S[i*j]*sg[j])%P);}}d[T].resize((lim/T)*(lim/T)+1);for(ll i=T+1;i<=lim;i++){ll p=lim/i;d[i].resize(p*p+1);for(ll j=1,sum=0;j<=lim/i;j++)for(ll k=j;k<=lim/i;k++)d[i][(j-1)*p+k]=(d[i-1][(j-1)*o[i-1]+k]+f[i][j]*f[i][k]*mu[i])%P;o[i]=p;}while(q--){scanf("%lld%lld",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);ll ans=0;for(ll i=1;i<=min(T,n);i++)(ans+=1ll*f[i][n/i]*f[i][m/i]*mu[i]%P)%=P;for(ll l=T+1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));(ans+=d[r][(n/l-1)*o[r]+m/l]-d[l-1][(n/l-1)*o[l-1]+m/l])%=P;}printf("%lld\n",(ans+P)%P);}return 0;
}

YbtOJ#943-平方约数【莫比乌斯反演,平衡规划】相关推荐

P4240-毒瘤之神的考验【莫比乌斯反演,平衡规划】
正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4240 题目大意 QQQ组数据给出n,mn,mn,m求 ∑i=1n∑j=1mφ(i×j)\sum_{i=1}^n\ ...
锦标赛排序、洪水填充算法、平衡规划
锦标赛排序锦标赛排序(胜者树,记录胜者) 锦标赛排序(胜者树,记录胜者) - Class Xman - 博客园锦标赛排序(胜者树,记录胜者)_继续微笑lsj-CSDN博客_锦标赛排序数据结构之树 ...
SDOI2015 约数个数和（莫比乌斯反演经典、双上限整除分块）超详细笔记
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划 AcWing 1358. 约数个数和(莫比乌斯反演经典.双上限整除分块) #include <c ...
数学：莫比乌斯反演-约数个数和
BZOJ3994:利用莫比乌斯反演求约数个数和解答此题需要利用约束个数函数的形式,将其与gcd联系再一起,然后再反演,推导很麻烦 1 #include<cstdio> 2 #inclu ...
【bzoj3994】[SDOI2015]约数个数和莫比乌斯反演
题目描述设d(x)为x的约数个数,给定N.M,求输入输入文件包含多组测试数据. 第一行,一个整数T,表示测试数据的组数. 接下来的T行,每行两个整数N.M. 输出 T行,每行一个整数,表示你 ...
【数学专题】莫比乌斯反演与积性函数
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的模板整合计划目录莫比乌斯反演 AcWing 2702. problem b AcWing 1358. 约数个数和(莫 ...
模板：莫比乌斯反演（数论）
文章目录前言整除分块代码积性函数线性筛狄利克雷卷积莫比乌斯反演 trick 所谓莫比乌斯反演,就是莫比乌斯进行的反演 (逃) 前言在一些需要整除的式子和 gcd⁡,lcm⁡\gcd,\ ...
数论 —— 莫比乌斯反演
[反演] 假设我们手头有个数列 F,通过某种变换 H,可以得到函数 G.,即: 但现在只有函数 G,需要求 F,那么我们就需要寻找一种变换 ,使得 G 在经过这种变换后能够获得 F,这个过程即为反演, ...
莫比乌斯反演入门题目(详细)
目录 luoguP2568 GCD hdu1695 GCD luogu3455[POI2007]ZAP-Queries luogu2522 [HAOI2011]Problem b P4318 完全平方 ...

YbtOJ#943-平方约数【莫比乌斯反演,平衡规划】

正题

题目大意

解题思路

code

YbtOJ#943-平方约数【莫比乌斯反演,平衡规划】相关推荐

最新文章

热门文章