CodeJam 2021 Round3 Square Free

problem
solution
code
code-std

problem

神奈子是个很爱打麻将的老婆婆，有一天她把她的麻将放进了一个 n×mn\times mn×m 的网格图里，每个麻将可以左斜着放入网格中（如 / ），也可以右斜着（如 \ ），如下图所示。不过她还没决定好应该怎么摆。

因为她很喜欢风，所以摆麻将的地方风很大，容易把麻将吹倒，因此存在两个序列 aaa 和 bbb，表示第 iii 行必须有恰好 aia_iai 个麻将左斜，第 jjj 列必须有恰好 bjb_jbj 个麻将左斜，才能保证麻将的稳定性。

因为她很喜欢山，所以她喜欢山一般的参差不齐感，而不希望麻将形成规规整整的正方形（如下图所
示）。

她非常没耐心，所以你需要告诉她能否将麻将摆成符合要求的样子，如果可以，为了节省她的时间，你只需要任意给出一种方案即可。

n,m≤20n,m\le 20n,m≤20。

solution

20简直就是各种算法和高复杂度爆艹

在考场上的 调整法 竟然过了，我也不知道对不对。还是分享给大家。

这种给出任意一种方案，一般都是猜结论或者单纯构造。

这里我从构造入手。

先考虑行的限制，每行从第一列开始直接就放 aia_iai 个 /，剩下的放 \。每一行形如 //...//\\..\。

这样首先是将行限制全都满足了，在此基础上继续考虑列的限制。

从左往右每一列每一列的考虑，考虑到第 iii 列的时候，要求前 i−1i-1i−1 列全都已经符合要求。

该列的 / 恰好满足要求那就直接下一列。
该列的 / 大于要求。那么就需要将该列上的某几行 / 替换成 \。

直接枚举每一行 kkk ，然后再枚举 kkk 行后面 j(j>i)j(j>i)j(j>i) 列的情况。

如果 kkk 行 iii 列恰好是 /，且 kkk 行某个 jjj 列恰好是 \，那么就可以交换两个位置上的字符。

kkk 行的限制仍然满足，也没有改动前 i−1i-1i−1 列。

后面列的改变后面调整再说，现在只对前面负责。
该列的 / 小于要求。与上面同理，需要将该列上的某几行 \ 替换成 /。不赘述。

以上是第一步调整。有可能还不行，就需要进行第二步调整。

以该列的 / 大于要求为例，可能会出现该列上的每个 \ 所在行的 ∀j,j>i\forall j,j>i∀j,j>i 列都是 \。

那么就找不到可以与该位置交换的 / 了。

这个时候就只能动前面的了。

考虑 iii 列的某行 j1j_1j1，该 (j1,i)(j_1,i)(j1,i) 格子字符为 /，考虑现在将其调整为 \。

那么首先找到 j1j_1j1 行的 x(x<i)x(x<i)x(x<i) 列，(j1,x)(j_1,x)(j1,x) 格子字符为 /。

如果这两个交换，则第 iii 列的 / 数量就会减少 111，且 j1j_1j1 行的限制没有破坏。

此时发现，xxx 列的限制破环了，再找一行 j2j_2j2，(j2,x)(j_2,x)(j2,x) 上的字符为 \，将其改变成 /，又重新维护了 xxx 列的限制。

又发现 j2j_2j2 行的限制被破坏，又得找一个 yyy 列，继续调整..................

会发现 j2j_2j2 行后面 y(y>i)y(y>i)y(y>i) 列一定有 \。

因为既然能进入到第二步的调整，那就证明任意行已经找不到 /。

将其改变为 /，那么 j2j_2j2 行的限制就又重新维护了。

不管 iii 列以后的事情，那么所有行和前面所有列的限制仍然成立。

以该列的 / 小于要求同理，也不赘述。

两步调整后，会发现，如果只有第一步调整是永远不会出现正方形的，可是有第二步后就不能保证了。

所以进行第三步对正方形的调整。

而且上述调整发现只可能（？）出现边长为 111 的正方形。

因为上述调整是行列从小到大的。

一定是先将上一行想尽办法的调整了再调整下一行，所以不可能下一行又折回去这种感觉。

直接枚举每个位置为左上角格子，然后判断一个 2×22\times 22×2 格子是否构成正方形，如果是那么交换两行，注意此时不能直接往下枚举。

i.e.

/\
/\
\/

有可能换了后跟上面的重新组成了一个正方形，那就行减减，再判断一遍。

最后三步调整后再判断一下是否又正方形的出现，这是还出现就直接判为 IMPOSSIBLE。

很有可能是因为数据太水，导致我错误地艹过去了。哈哈哈哈

以下就是正解算法。

发现只要存在一个满足行列限制的方案，就一定存在没有正方形的方案。

如果存在正方形，可以将正方形所有格子内的字符全反转，仍然满足行列限制，但破环了正方形。

可以证明这样是不会存在环，无限循环下去的。

证明：

将表格字符压成一维的字符串表示，假设 / 的字典序大于 \。

那么每次反转一个正方形后，字典序只会变小。

因此字典序最小的方案一定是不存在正方形的。

问题转化为构造一个字典序最小的方案数。

再加上这个行列限制，明显就是网络流经典问题。

具体可见 code-std 实现。

code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define maxn 25
int n, m;
int r[maxn], c[maxn];
//int ROW[maxn], COL[maxn];
int ans[maxn][maxn];int main() {freopen( "net.in", "r", stdin );freopen( "net.out", "w", stdout );scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &r[i] );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 1;j <= r[i];j ++ )ans[i][j] = 1;for( int j = 1;j <= m;j ++ ) {int cnt = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ )cnt += ans[i][j];if( cnt == c[j] ) continue;if( cnt > c[j] ) {for( int i = 1;i <= n and cnt != c[j];i ++ )if( ans[i][j] ) {for( int k = m;k > j;k -- )if( ! ans[i][k] ) {swap( ans[i][j], ans[i][k] );cnt --;break;}}for( int i = 1;i <= n and cnt != c[j];i ++ )if( ans[i][j] ) {for( int k = 1;k <= n;k ++ ) {for( int w = j - 1;w and i != k;w -- )if( ans[k][w] and ! ans[i][w] )for( int x = m;x > j;x -- )if( ! ans[k][x] ) {cnt --;ans[i][j] = 0;ans[i][w] = 1;ans[k][w] = 0;ans[k][x] = 1;goto nxtj;}}nxtj:;}}else {for( int i = 1;i <= n and cnt != c[j];i ++ )if( ! ans[i][j] ) {for( int k = m;k > j;k -- )if( ans[i][k] ) {swap( ans[i][j], ans[i][k] );cnt ++;break;}}for( int i = 1;i <= n and cnt != c[j];i ++ )if( ! ans[i][j] ) {for( int k = 1;k <= n;k ++ ) {for( int w = j - 1;w and i != k;w -- )if( ans[i][w] and ! ans [k][w] )for( int x = m;x > j;x -- )if( ans[k][x] ) {cnt ++;ans[i][j] = 1;ans[i][w] = 0;ans[k][w] = 1;ans[k][x] = 0;goto nxti;}}nxti :;}}// printf( "START: %d\n", j );// for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {//     for( int j = 1;j <= m;j ++ )//         if( ans[i][j] ) printf( "%c", 47 );//         else printf( "%c", 92 );//     puts("");// }if( cnt != c[j] ) return ! printf( "IMPOSSIBLE\n" );}for( int i = 1;i < n;i ++ )for( int j = 1;j < m;j ++ )if( ans[i][j] and ! ans[i][j + 1] and ! ans[i + 1][j] and ans[i + 1][j + 1] ) {swap( ans[i][j], ans[i + 1][j] );swap( ans[i][j + 1], ans[i + 1][j + 1] );i -= 2;break;}for( int i = 1;i < n;i ++ )for( int j = 1;j < m;j ++ )if( ans[i][j] and ! ans[i][j + 1] and ! ans[i + 1][j] and ans[i + 1][j + 1] )return ! printf( "IMPOSSIBLE\n" );printf( "POSSIBLE\n" );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {for( int j = 1;j <= m;j ++ )if( ans[i][j] ) printf( "%c", 47 );// ROW[i] ++, COL[j] ++;else printf( "%c", 92 );puts("");}// for( int i = 1;i <= n;i ++ ) if( ROW[i] != r[i] ) return ! printf( "WA\n" );// for( int i = 1;i <= m;i ++ ) if( COL[i] != c[i] ) return ! printf( "WA\n" );return 0;
}

code-std

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 25
int a[maxn], b[maxn], r[maxn], c[maxn];
int n, m;bool check( int x, int y ) {memcpy( r, a, sizeof( a ) );memcpy( c, b, sizeof( b ) );for( int i = x;i <= n;i ++ ) {vector < pair < int, int > > v;for( int j = ( i == x ? y : 1 );j <= m;j ++ )v.push_back( { b[j], j } );sort( v.begin(), v.end() );for( int k = v.size() - 1;~ k and a[i];k -- )a[i] --, b[v[k].second] --;}bool flag = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) flag &= a[i] == 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) flag &= b[i] == 0;memcpy( a, r, sizeof( r ) );memcpy( b, c, sizeof( c ) );return flag;
}int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );int sum = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] ), sum += a[i];for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%d", &b[i] ), sum -= b[i];if( sum ) return ! puts( "IMPOSSIBLE" );if( ! check( 1, 1 ) ) return ! puts( "IMPOSSIBLE" );puts( "POSSIBLE" );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {for( int j = 1;j <= m;j ++ )if( check( i, j + 1 ) ) printf( "\\" );else a[i] --, b[j] --, printf( "/" );puts("");}return 0;
}

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