L3-020 至多删三个字符 (30 分) DP

给定一个全部由小写英文字母组成的字符串，允许你至多删掉其中 3 个字符，结果可能有多少种不同的字符串？

输入格式：

输入在一行中给出全部由小写英文字母组成的、长度在区间 [4, 106] 内的字符串。

输出格式：

在一行中输出至多删掉其中 3 个字符后不同字符串的个数。

输入样例：
ababcc
输出样例：
25
提示：

删掉 0 个字符得到 "ababcc"。

删掉 1 个字符得到 "babcc", "aabcc", "abbcc", "abacc" 和 "ababc"。

删掉 2 个字符得到 "abcc", "bbcc", "bacc", "babc", "aacc", "aabc", "abbc", "abac" 和 "abab"。

删掉 3 个字符得到 "abc", "bcc", "acc", "bbc", "bac", "bab", "aac", "aab", "abb" 和 "aba"。

思路&解析

如果不考虑重复的情况下，我们可以得到DP的转移方程
dp[x][y] --> 前x个字符删去y个字符得到的方案数dp[i][j] = dp[i - 1][j];//不删第i个字符
if(j)
dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];//删第i个字符
这个DP转移是很容易的得到的

但我们同时也不得不考虑重复的问题

举个例子

abcded

dp[6][2] 时我们删除"de" or "ed" 得到的答案是一样的，所以我们多计算了一次，

多计算的正是dp[3][0]
if(s[k]==s[i])
{dp[i][j] -= dp[k-1][j-(i-k)];//[j-(i-k)]表示  i 到 k-1 删了几个字符break;
}
如果我们可以找到第i个位置的前面 k 的位置有与i相同的字符（简单的说，i与k位置上的字符相同）

这就找到了可能会重复的情况（注意是可能会重复，"abcdea"像这样的就不会重复，因为我们之多删除3个字符）

首先我们可以知道减去的一定在dp[x-1][....] （就是在前x-1的位置下进行删除）

[....]应该是什么呢？

不能发现应该是 [j-(i-k)]

为什么呢？

本身这个位置上就代表要删除的字符数，(i-k) 是指 i 到 k-1 删了多少个字符

通过转移我们可以知道dp[...][j] 是可以通过 dp[...][j-(i-k)]转移过来的，所以dp[...][j-(i-k)]就正是多加的那一部分。

去重我们就减去那一部分就ok了

ps:

去重这个还是比较绕的，本人也是研究了很长时间，建议从DP转移出发想是多加了哪一部分，并且还可以结合样例去理解这个去重！

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e6 + 9;
ll dp[N][5];
char s[N];
int main()
{cin >> (s+1);int n = strlen(s+1);dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 0; j <= 3; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j];if(j)dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];for(int k = i-1;k>=1&&(i-k)<=j;k--){if(s[k]==s[i]){dp[i][j] -= dp[k-1][j-(i-k)];//[j-(i-k)] k-1 删了几个字符break;}}}}ll ans = 0;for(int  i = 0;i<=3;i++)ans += dp[n][i];cout<<ans<<"\n";
}

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