Hacked Exam-Google Codejam 2021 Round 1A第三题

There is an exam with Q(1 ≤\leq≤ Q ≤\leq≤ 120)true or false questions. The correct answer to each question is either T or F. Each student taking the exam selects either T or F for each question, and the student’s score is the number of questions they answer correctly.
There are N(1 ≤\leq≤ N ≤\leq≤ 3) students who have already taken this exam. For each of those students, you know the answers they gave to each question and their final score. Assuming that any sequence of answers that is consistent with all of those students’ scores has the same probability of being the correct sequence of answers, you want to maximize your own expected score. Determine what that expected score is and how to answer the questions so that you achieve it.

题目大意

一次考试有Q个判断题(1 ≤\leq≤ Q ≤\leq≤ 120)。现在你知道N(1 ≤\leq≤ N ≤\leq≤ 3)个考生每道题的回答及总得分（即回答正确的题目），输出一种答题方案，使得期望得分最高。

题目解析

先考虑两个学生的情况：对于某一道题，他们的答案要么是相同的，要么是不同的。假设这两名学生有mmm道题答案相同，其中kkk道题答案正确。设两名学生的得分为x,yx,yx,y，由于两人答案不同的题目必定一人对一人错，那么(x−k)+(y−k)=Q−m,k=x+y−Q+m2(x-k)+(y-k)=Q-m,k=\frac{x+y-Q+m}{2}(x−k)+(y−k)=Q−m,k=2x+y−Q+m。因此，作答情况为TTTTTT答案为TTT的几率和作答情况为FFFFFF答案为FFF的几率为km\frac{k}{m}mk，作答情况为TFTFTF答案为TTT的几率和作答情况为FTFTFT答案为FFF的几率为s1−kQ−m\frac{s_1-k}{Q-m}Q−ms1−k。对于每道题，选期望得分更高的选项即可。

现在考虑3个学生的情况：对于每一道题，这三个学生的答题情况有2³=8种情况。假设这三名学生得分分别是s1,s2,s3。s_1,s_2,s_3。s1,s2,s3。
假设三名学生作答情况为[TTT,TTF,TFT,TFF,FTT,FTF,FFT,FFF]分别有[x1,x2,⋯,x8][TTT,TTF,TFT,TFF,FTT,FTF,FFT,FFF]\\分别有[x_1,x_2,\cdots,x_8][TTT,TTF,TFT,TFF,FTT,FTF,FFT,FFF]分别有[x1,x2,⋯,x8]道题目，[t1,t2,⋯,t8][t_1,t_2,\cdots,t_8][t1,t2,⋯,t8]道题目答案为TTT。根据之前的观察，作答情况完全相反的两道题答案为TTT的概率是互补的。那么：
{t1x1+t8x8=1t2x2+t7x7=1t3x3+t6x6=1t4x4+t5x5=1t1+t2+t3+t4+x5+x6+x7+x8=s1+t5+t6+t7+t8t1+t2+t5+t6+x3+x4+x7+x8=s2+t3+t4+t7+t8t1+t3+t5+t7+x2+x4+x6+x8=s3+t2+t4+t6+t8\begin{cases} \frac{t_1}{x_1}+\frac{t_8}{x_8}=1\\ \frac{t_2}{x_2}+\frac{t_7}{x_7}=1\\ \frac{t_3}{x_3}+\frac{t_6}{x_6}=1\\ \frac{t_4}{x_4}+\frac{t_5}{x_5}=1\\ t_1+t_2+t_3+t_4+x_5+x_6+x_7+x_8=s_1+t_5+t_6+t_7+t_8\\ t_1+t_2+t_5+t_6+x_3+x_4+x_7+x_8=s_2+t_3+t_4+t_7+t_8\\ t_1+t_3+t_5+t_7+x_2+x_4+x_6+x_8=s_3+t_2+t_4+t_6+t_8\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1t1+x8t8=1x2t2+x7t7=1x3t3+x6t6=1x4t4+x5t5=1t1+t2+t3+t4+x5+x6+x7+x8=s1+t5+t6+t7+t8t1+t2+t5+t6+x3+x4+x7+x8=s2+t3+t4+t7+t8t1+t3+t5+t7+x2+x4+x6+x8=s3+t2+t4+t6+t8
一共7个方程，8个未知数。我们可以将t2t_2t2到t8t_8t8用t1t_1t1表示出来，再代入t1t_1t1的可能值，这样我们就可以统计出每种题选TTT的期望得分，之后我们只需要比较其与0.5的大小来决定选TTT还是FFF便可以了，总期望即每道题期望值和，时间复杂度是O(Q)O(Q)O(Q)的。

本题作为该轮最后一题，有一定思维难度。

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