毫米波雷达（mmWave）基本原理

1. 引言

毫米波（mmWave）是一种特殊的雷达技术，它使用短波长的电磁波。雷达系统发射电磁波信号，然后其路径上的物体将它反射回去。通过捕捉反射信号，雷达系统可以确定目标的距离、速度和角度。毫米波雷达发射的信号波长在毫米范围内。这被认为是电磁波谱中的短波长，是该技术的优点之一。实际上，处理毫米波信号所需的天线等系统组件的尺寸很小。短波长的另一个优点是精度高。工作在 76-81 GHz（相应波长约为 4 毫米）的毫米波系统将能够检测到小到 1 毫米的运动。一个完整的毫米波雷达系统包括发射（TX）和接收（RX）射频（RF）组件；如时钟这样的模拟元件；如模数转换器（ADC）、微控制器（MCU）和数字信号处理器（DSP）这样的数字元件。以前，这些系统采用离散元件实现，这增加了功耗和整体系统成本。由于系统的复杂性和高频率，系统设计具有挑战性。Texas Instruments （TI）已经解决了这些挑战，并设计了基于互补金属氧化物半导体（CMOS）的毫米波雷达器件，该器件集成了 TX-RF 和 RX-RF 、模拟组件（如时钟）以及数字组件（如 ADC、MCU 和硬件加速器）。TI 毫米波传感器产品组合中的一些系列集成了 DSP ，来提供额外的信号处理功能。TI 实现了一种特殊的毫米波技术，称为调频连续波（FMCW）。顾名思义， FMCW 雷达连续发射调频信号，以测量距离、角度和速度。这与传统的脉冲雷达系统不同，后者周期性地发射短脉冲。

2. 测距

雷达系统的基本概念是物体在其路径上反射的电磁信号的传输。在 FMCW 雷达使用的信号中，频率随时间线性增加。这种类型的信号也被称为 chirp 。下图显示了 chirp 信号 A-t 函数表示。

下图也显示了 chirp ，频率是时间的函数。chirp 的特征是起始频率（fc），带宽（B）和持续时间（Tc）。chirp 的斜率（S）捕获频率的变化率。其中 fc = 77 GHz, B = 4 GHz, Tc = 40 μs, S = 100 MHz/μs

FMCW 雷达系统发送 chirp 信号并捕获其路径上物体反射的信号。
下图是FMCW雷达主要射频组件的简化框图。

雷达的工作原理如下:

合成器产生 chirp
chirp 由发射天线（TX ant）发射出去
物体对 chirp 的反射产生被接收天线捕获的反射 chirp （RX ant）
混频器（mixer）结合 RX 和 TX 信号产生中频（IF）信号

频率混频器是一种电子元件，它将两个信号组合在一起，产生一个具有新频率的新信号
对于输入的两个正弦信号 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2
x 1 = s i n ( ω 1 t + Φ 1 ) x_1 = sin(\omega_1t+\varPhi_1) x1=sin(ω1t+Φ1)（1）
x 2 = s i n ( ω 2 t + Φ 2 ) x_2 = sin(\omega_2t+\varPhi_2) x2=sin(ω2t+Φ2)（2）
输出 x o u t x_{out} xout的瞬时频率等于两个输入正弦波的瞬时频率之差。输出 x o u t x_{out} xout的相位等于两个输入信号的相位差:
x o u t = s i n [ ( ω 1 − ω 2 ) t + ( Φ 1 − Φ 2 ) ] x_{out}=sin[(\omega_1-\omega_2)t+(\varPhi_1-\varPhi_2)] xout=sin[(ω1−ω2)t+(Φ1−Φ2)]（3）

混频器的操作也可以通过查看 TX 和 RX 的 chirp 频率和关于时间的函数来图形化地理解。
下图中的上图显示了检测到的单个对象的 TX 和 RX chirp 作为时间的函数。注意，RX chirp 是TX chirp 的延时版本。

时间延迟（t）可以由下式推导出
τ = 2 d c \tau=\frac {2d} c τ=c2d（4）
d是到被探测物体的距离，c是光速

为了得到混频器输出的中频信号关于时间的函数表示，减去下图上半部分所示的两条线，两条线之间的距离是固定的，这意味着中频信号由一个频率恒定的音调组成。中频信号仅在 TX chirp 和 RX chirp 重叠的时间间隔内有效（即下图中垂直虚线之间的间隔）。混频器输出信号关于时间和幅值函数是正弦波，因为它具有恒定的频率。

中频信号的初始相位( Φ 0 \varPhi_0 Φ0)是中频信号开始时对应的时间瞬间(即上图中左侧垂直虚线所表示的时间瞬间)TX chirp 的相位与RX chirp 的相位之差(如下式):
Φ 0 = 2 π f c τ \varPhi_0 = 2\pi f_c\tau Φ0=2πfcτ（5）
更进一步的可以被推导为下式
Φ 0 = 4 π d λ \varPhi_0 = \frac {4 \pi d} \lambda Φ0=λ4πd（6）¹
综上所述，对于距离雷达d处的目标，中频信号为如下式的正弦波
A s i n ( 2 π f 0 t + Φ 0 ) Asin(2\pi f_0 t+\varPhi_0) Asin(2πf0t+Φ0)（7）²
其中： f 0 = S 2 d c f_0 = \frac {S2d} c f0=cS2d， Φ 0 = 4 π d λ \varPhi_0 = \frac {4 \pi d} \lambda Φ0=λ4πd

目前的假设是雷达只探测到一个物体。让我们分析一个检测到多个对象的情况。下图显示了从不同对象接收到的三种不同的 RX chirp 。每个 chirp 的延迟时间与与目标的距离成正比。不同的 RX chirp 转换成多个中频信号，每个频率恒定。

这个由多个信号组成的中频信号必须使用傅里叶变换进行处理，以便分离不同的信号。傅里叶变换处理产生的频谱将会对不同的信号产生不同的峰值，每一个峰值都表示了一个特定距离的物体

2.1 距离分辨率

3. 测速

在本节中，让我们使用相量符号(距离，角度)表示复数。

3.1 双 chirp 测速

为了测量速度，FMCW 雷达发送两个 T c T_c Tc 间隔的 chirps 。每个反射的 chirp 经过 FFT 处理来检测目标的范围（range- FFT），每个 chirp 对应的 range-FFT 在相同的位置有峰值，但相位不同。测量到的相位差对应于 v T c vTc vTc 物体的运动。

由（6）可得相位差如下式:
Δ Φ = 4 π v T c λ \Delta\varPhi = \frac {4 \pi v T_c } \lambda ΔΦ=λ4πvTc（10）
可以推导出速度如下式
v = λ Δ Φ 4 π T c v = \frac {\lambda \Delta \varPhi} {4\pi T_c} v=4πTcλΔΦ（11）
由于速度测量是基于相位差的，只有当 ∣ Δ Φ ∣ < π \mid{\Delta \varPhi }\mid <\pi ∣ΔΦ∣<π时，这个测量结果才是准确的，根据（11）我们可以从数学上推导出 v < λ 4 T c v<\frac {\lambda} {4T_c} v<4Tcλ
式12给出了两个间隔为 T c T_c Tc的 chirp 测量的最大相对速度 V m a x V_{max} Vmax，更快的 V m a x V_{max} Vmax 需要更短的 chirp 间隔时间
v m a x = λ 4 T c v_{max}=\frac {\lambda} {4T_c} vmax=4Tcλ（12）

3.2 同一范围内多个物体的速度测量

如果在测量时有多个不同速度的运动物体，且它们与雷达的距离相同，则双 chirp 测速方法无法工作。由于这些物体处于相同的距离，它们将产生具有相同中频频率的反射 chirp 。因此 range-FFT将产生单峰，它代表来自所有这些等距离对象的组合信号。简单的相位比较技术是行不通的。
在这种情况下，为了测量速度，雷达系统必须发射两个以上的 chirp。它传输一组N个等间隔的 chirp。这组 chirp 称为 chirp frame。下图显示了chirp frame 的频率与时间的关系。

下面以与雷达等距离但速度分别为 v 1 v_1 v1 和 v 2 v_2 v2 且不相等的两个物体为例来描述处理过程。
Range-FFT处理反射的一组 chirp ，产生一组 N 个位置相同的峰值，但每个峰值具有不同的相位，其中包含来自这两个对象的相位(下图中每个对象的单个相位由红色和蓝色相量表示)。

在N个相量上执行第二个FFT，称为 Doppler-FFT，以解析两个对象，如下图所示。

ω 1 \omega_1 ω1和 ω 2 \omega_2 ω2对应于各自对象连续 chirp 的相位差，如下式
v 1 = λ ω 1 4 π T c v_1 = \frac {\lambda \omega_1} {4\pi T_c} v1=4πTcλω1, v 2 = λ ω 2 4 π T c v_2 = \frac {\lambda \omega_2} {4\pi T_c} v2=4πTcλω2（13）

3.3 速度分辨率

4.测角

4.1 估算角度

FMCW 雷达系统可以估算出反射信号与水平面的夹角，如下图所示。这个角度也称为 angle of arrival (AoA)。

估算角度是基于观察到物体距离的微小变化会导致 range-FFT 或 Doppler-FFT 峰值的相位变化。该结果用于执行角度估计，使用至少两个RX天线，如下图所示。从物体到每个天线的差分距离导致FFT峰值的相位变化。相位变化让我们可以估计AoA。

在这种情况下，相位变化的数学表达式为下式
Δ Φ = 2 π Δ d λ \Delta\varPhi = \frac {2\pi\Delta d} \lambda ΔΦ=λ2πΔd（15）
在平面波前的基本几何假设下， Δ d = l s i n ( θ ) \Delta d=lsin(\theta) Δd=lsin(θ)，其中 l 为天线之间的距离。因此，AoA（ θ \theta θ）可以通过下式使用 Δ Φ \Delta\varPhi ΔΦ来计算得到。
θ = s i n − 1 ( λ Δ Φ 2 π l ) \theta = sin^{-1}(\frac {\lambda\Delta\varPhi} {2\pi l}) θ=sin−1(2πlλΔΦ)（16）
注意， Δ Φ \Delta \varPhi ΔΦ 取决于 s i n ( θ ) sin(\theta) sin(θ)。这被称为非线性依赖关系。只有当 θ \theta θ 的值很小的时候时才有 s i n ( θ ) sin(\theta) sin(θ) ~ θ \theta θ， s i n ( θ ) sin(\theta) sin(θ)才近似为线性函数。

因此，估计精度依赖于AoA，当θ值较小时，估计精度更高。如下图所示。

4.2 最大视场角

雷达的最大视场角由雷达所能估计的最大AoA来确定。如下图

无误差的角度测量要求 ∣ Δ ω ∣ < π \mid\Delta \omega\mid<\pi ∣Δω∣<π。根据（16）相当于是 2 π l s i n ( θ ) λ < π \frac {2 \pi lsin(\theta)} \lambda < \pi λ2πlsin(θ)<π

由下式可知，间隔的两根天线所能探测的最大视场为
θ m a x = s i n − 1 ( λ 2 l ) \theta_{max} = sin^{-1}(\frac \lambda {2l}) θmax=sin−1(2lλ)（17）

当两根天线之间的间距为 l = λ / 2 l=\lambda/2 l=λ/2时，最大视场角为 ± 90 ° \pm90° ±90°。

参考文章：
[1]The fundamentals of millimeter wave radar sensors (Rev. A) 点我下载

这个方程是一个近似值，只有当斜率和距离足够小时才有效。不过它仍然是正确的，中频信号的相位线性反应微小的距离变化（例如 Δ Φ = 4 π Δ d λ \Delta\varPhi = 4\pi\Delta d \lambda ΔΦ=4πΔdλ） ↩︎
在这篇介绍性白皮书中，我们忽略了中频信号的频率对物体速度的依赖。这通常是一个小的影响，在快速 FMCW 雷达中，被 Doppler-FFT 处理过后可以很容易地纠正。 ↩︎