[数值计算-12]：什么是函数逼近：插值、拟合、回归

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第1章什么是函数逼近？

1.1 抛出问题1：函数插值

1.2 抛出问题2：函数拟合

1.3 什么是回归

第2章函数逼近的基本方法

2.1 插值法求插值函数

2.2 拟合法求拟合函数

第3章用于函数逼近的常见函数类型

3.1 一元函数

3.2 多元函数

3.3 复合函数

第1章什么是函数逼近？

1.1 抛出问题1：函数插值

利用有限的样本数据，发现其内在的规律，并用这个规律预测未来新的数据。

（1）单个数据点

0次函数通过样本点：唯一确定一个点 y = f(x) = a0
1次直线函数通过样本点：可以有无数 y = f(x) = a1x + a0
2次抛物线函数通过样本点：可以有无数 y = f(x) = a1x^2 + a1x + a0

（2）2个数据点

0次函数通过样本点：无
1次直线函数通过样本点：唯一直线 y = f(x) = a1x + a0
2次抛物线函数通过样本点：可以有无数 y = f(x) = a1x^2 + a1x + a0

（3）3个数据点

0次函数通过样本点：无
1次直线函数通过样本点：无
2次抛物线函数通过样本点：唯一抛物线y = f(x) = a1x^2 + a1x + a0

问题：

如果有(xn+1,yn+1), (xn,yn)........(x1,y1), (x0,y0)样本点，那么如何选择一个最低次的多项式函数，可以穿过上述样本点？

推测：

对应n+1个点，可以唯一的确定一个一元n次的多项式函数，该多项式函数可以穿越所有n+1个点。

1.2 抛出问题2：函数拟合

如果有n个点，不要求选出的函数穿越所有的点，而是根据这些点构建的轮廓，选择一个更低维度（次数）的函数尽可能的靠近这些样本点呢？

当函数的次数远远小于样本点的次数是，该如何选择低次的函数?

1.3 什么是回归

回归与拟合是基本相同的概念。线性拟合通常称为线性回归。

第2章函数逼近的基本方法

2.1 插值法求插值函数

插值函数穿过所有的样本点
插值函数的次数 >= 样本点个数N再减1，即至少为N-1次。

2.2 拟合法求拟合函数

拟合函数不会穿过所有的样本点
拟合函数的次数远远小于样本点个数

第3章用于函数逼近的常见函数类型

3.1 一元函数

一元函数是指函数方程式中只包含一个自变量。例如y=F(x)。与一元函数对应的为多元函数，顾名思义函数方程中包含多个自变量。在工科数学基础分析中：设A，B是两个非空的实数集，则称映射f：A→B为定义在A上的一元函数，简称函数。

一元线性函数y = ax + b
一元多项式函数y = an*X^n + an-1*X^(n-1) + .... a1*X^1 + a0
一元三角函数
一元指数函数

3.2 多元函数

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。

当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

3.3 复合函数

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

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