黑洞数及其简单理论

有人还是不服气，西西弗斯没有本领把大石头推上山，带一块小石头总可以吧。那就是你不知道 “黑洞 ”的厉害，这个禁区不讲情面，金科玉律不可违背。 如选个 1，根据上面的变换规则，百位数为 0(无 偶数 )，十位数即奇数为 1，只有 1 位数，即为 011，最后还是黑洞数 123。 如以 11 计算 ，则可转换为 022303123 。 1 参考文献 一种黑洞数和 Logistic 混沌序列的图像加密应用 -上海第二工业大学学报 -2011 年 第 4 期 (28) 一个新的变换 数列及其黑洞数问题研究 -高师理科学刊 -2012 年 第 5 期 (32) 数码 4 次方求和迭代的黑洞数 -重庆科技学院学报：自然科学版 -2012 年 第 4 期 (14) 其中： n = 0、 1、 2、 3 定义二 黑洞数 123，可称西西弗斯数。相传，西西弗斯是 古希腊 时一个暴君，死后被打入地狱。此人力大如牛，颇有蛮力，上帝便罚他去做苦工，命令他把巨大的石头推上山。他自命不凡，欣然从命。可是将石头推到临近山顶时，莫明其妙地又滚落下来。于是他只好重新再推，眼看快要到山顶 ，可又 “功亏一篑 ”，石头滚落到山底，如此循环反复，没有尽头。 如果随便选一个很大的数，作为一块 “大石头 ”43005798。我们以此为基础，按如下规则转换成一个新的三位数。百位数是 8 位数中的偶数 个数( 0 作为偶数)，十位数是 8 位数中奇数的个数， 个位数 是原数的个数。于是得出新数为 448， 448 作同样的变换， 3 个偶数，百位数是 3，奇数有 0 个，一共 3 位数。于是就得出 303，再经转换就得到 123。一旦得到 123 后，就再也不变化了。好比推上山的石头又落到地上，一番辛苦白费。 如果你有兴趣，可以换上别的自然数来试。尽管步数有多有少，但最后总归是 123。 如 2007630。偶数个数为 5， 奇数 个数为 2，一共 7 位数，则得新数为 527，结果 还是百位数为 1。因为只有 1 个偶数。因为奇数个数为 2，所以十位数为 2。一共 3 位数，最后还是进入 “黑洞数 ”123。 x =5213=4 这时 y =497=7 这时的 x， y 值是方程的最小整数根。 但方程 ax- by- c = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为： x = 4 + 7n y = 7 + 13n 其中： n = 0、 1、 2、 3 实例 2：求 方程 13x- 8y +4 = 0 的最小整数根和全部整数根？ 首先： 取 138 = 104 计算： 13( 8) =13491 65 计算： 65( -4) 104 -5252 计算： ( 65-1) ( -4) 104 -4856 x =5213=4 这时 y =568=7 这时的 x， y 值是方程的最小整数根。 但 方程 13x- 8y +4 = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根 集可表示为： x = 4 + 8n y = 7 + 13n 即： 若 710 ( mod m) 关系成立， 则 ( 72) 5 ( mod m) 关系也成立； 应用方面的例子： 若 bc ，我们有以下 二元一次方程 ax -by -c = 0 求根法则： 首先： 取 ab = m 计算： a( b) m 计算： c m S1 计算： ( -1) c m S2 x =S1a 这时 y =S2b 这时的 x， y 值是方程的最小整数根。 但方程 ax- by- c = 0 有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为： x = S1a + b n y = S2b + a n 其中： n = 0、 1、 2、 3 实例 1：求 方程 13x- 7y -3 = 0 的最小整数根和全部整数根？ 首先： 取 137 = 91 计算： 13( 7) =13691 78 计算： 78391 52 计算： ( 78-1) 391 49 取 a = 7， b=52=25， 则 ab = 725 = 175 由定理关系得到： 7( 25) =720126 ( mod 175) 而 126n126 ( mod 175) 此时定理关系也成立 当 b 为多个素数乘积时： 取 a = 7， b= 311=33，则 ab = 733 = 231 由定理关系得到： 7( 33) =720133 ( mod 231) 而 133n133 ( mod 231) 所述定理关系式成立 故定理 1 得证 方幂余式黑洞数性质及应用 1、因数 a 的黑洞数减 1 的平方除 m 的 余数 是因数 b 的黑洞数； 即：如 (m)a = e1， 则 (e1-1)2m e2 = (m)b 2、 m 所含黑洞数的个数等于 m 所含 素因数 个数做为 2 底方次数减 2； 即： m 为素数没有黑洞数 m 有 2 个素因子时有 22-2 = 2 个黑洞数 m 含有 3 个素因子时有 23-2 = 6 个黑洞数 3、在 m 定值后，如果把全部 an (n = 1、 2、 3 但 nb) 值都做为底数，这时的 acm 的 c 值变化规律。与 m 的余数 循环节 acm1规律具有相同的变节和不变节特性。 在方幂余式 除法 anm L关系中，当得到 Lnm L 时 (n = 1、 2、 3 ), 我们称这时的 L 为因数 a 的 m 值黑洞数。 例如：在 35 = 15 关系时 我们得到： 3415 6 这时有： 6n15 6 ( n = 1、 2、 3 ) 所以我们称 6 是 因数 3 的 15 值的方幂余式黑洞数。 为了方便 ,我们引入符号 ( m) a = L 来表示方幂余式黑洞数关系。即上式结果可表示为 ( 15) 3 = 6，符号 “ ”在这里读作黑洞数。 下面我们将证明方幂余式黑洞数定理； 定理 1： 如 a1， b1，( a ， b) =1 且 ab = m ； 则有： a( b) ( mod m) 即这时： n ( mod m) 其中： n = 1、 2、 3 证：我们分别对 b 为素数， b 为素数乘方， b 为多个素数乘积时的情况加以证明。 当 b 为素数时： 取 a=7， b=19， 则 ab = 719 = 133 由定理关系得到： 7( 19) =71877 ( mod 133) 而 77n77 ( mod 133) 此时定理关系成立 当 b 为素数的 n 次 乘方 时： 若 a1， b1，且 ab = mk + L，则 有： m( k+aN) +L - = a b+mN 其中： N = 0、 1、 2、 3 这时的 a 值就是模式黑洞数。 应用实例： 取 a=7， b=13, 则 ab= 91=mk + L = 2451 2( 45+7N) +1 根据上式得到： - =7 13+2N 其中： N = 0、 1、 2、 3 应用实例：素数通式定理 若 ap 是 同余式 2N+1 模根数列的条件剩余数， 当 ap 4 + 3n + h (3 +2n ) 时 其中： n = 0、 1、 2、 3 对 n 的每个取值都重复取 h = 0、 1、 2、 3 则条件通式 2+1 的值恒是素数。 模式黑洞数性质是我们建立素数代数理论体系的根本前提。 方幂余式 其中 ： n = 0、 1、 2、 3 根据整数因数定理，我们即可得到如下整数黑洞数 ab+an - = a b+n 其中： n = 0、 1、 2、 3 这里，不论未知变量怎样取值，上式的结果都等于 a.。 例如：取 a=7, b=3， ab=21， 则有： 21+7n - = 7 3+n 其中： n = 0、 1、 2、 3 应用方面的例子： 全体 偶数 = 2 (n) + 2, ( n = 0、 1、 2、 3 ) 自然数中的全部 合数 = 4 +2n + h(2+n) 其中： n = 0、 1、 2、 3 对 n 的每个取值都重复取 h = 0、 1、 2、 3 模根因数 模式黑洞数是指模的同余式 mn+L 条件下的黑洞数。 在前文模根因数定理与模根剩余法判定素数一文中，模根因数定理( 1)式： 则根据黑洞数的定义，我们可以判定 495 就是三位数中的黑洞数 在日常学习计算中， 化简 含有 未知数 的 代数式 或 方程 经常会得到x-x=0 之结果。此前，人们只是把这种情况定义为 “此算式没有意义 ”而终结。黑洞数理论的出现 ，让人们看到了代数式或 方程 中 未知数可任意取值时的另一层含义。本文提出证明的方幂余式黑洞数 定理 ，揭示出 a, m 不互素条件下的 余数 循环规律，它将与欧拉 余数定理 互为补充，构造出全体 整数 的方幂式除法余数运算法则。本文给出的 二元一次方程 ax-by-c=0 的求根公式，将成为余数新理论应用的一个范例。 定义一 在含有 未知数 变量的代数式中，当未知数变量任意取值时其运算结果都不改变，我们把这时的数字结果叫黑洞数。根据运算性质的不同，我们把黑洞数分为以下三种类型： 、整数黑洞数 、模式黑洞数 、方幂余式黑洞数 整数因数 在前文模根因数定理与模根剩余法判定素数中，在建立选加因数概念后，我们证明了整数因数定理： 若 a、 b 都是大于 1 的整数，且有 g = ab，则有： g+an=a( b+n) 3 位陷阱数数 证明及陷阱数的简单应用 陷阱 数又称 黑洞 数，是类具有奇特转换特性的整数。任何一个数字不全相同整数，经有限 “重排求差 ”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数。 “重排求差 ”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数。 三位数的黑洞数为 495 简易 推导 过程：随便找个数，如 297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为 972 和 279，相减，得 693 按上面做法再做一次，得到 594，再做一次，得到 495 之后反复都得到 495 再如，四位数的黑洞数有 6174 五位数的黑洞数有 34256 下面给出三位数的黑洞数的详细证明： 对一个三位都不相同的三位数，记它各个位上的数字为 a， b， c，不妨设 abc 则第一次运算得： 100a+10b+c-(100c+10b+a)=99(a-c)即 99的一个倍数由于 abc a b+1 c+2 a-c 2 又 9 ac 0 a-c 9第一次运算后，可能得到： 198， 297， 396， 495， 594， 693， 792，891 再让这些数经过运算，分别得到： 981-189=792 972-279=693 963-369=594 954-459=495 972-279=693 963-369=594 954-459=495 963-369=594 954-459=495 954-459=495 954-459=495 963-369=594 954-459=495 972-279=693 963-369=594 954-459=495 981-189=792 972-279=693 963-369=594 954-459=495