洛谷P2312 秦九韶算法求多项式点值

题意：

给出序列[a1,a2,a3,...,an][a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}][a1,a2,a3,...,an]，求出下列方程在区间[1,m][1,m][1,m]的解
∑i=0naixi=0\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0 i=0∑naixi=0

Solution：

显然只需要枚举解，然后检查解是否符合条件即可，但直接多项式求值常数太大，朴素的求值需要n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)次乘法和nnn次加法。秦九韶算法可以优化至nnn次乘法，nnn次加法
a0+a1x+...+anxn=0a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}=0 a0+a1x+...+anxn=0
左式有xxx的部分提出xxx
a0+x(a1+...+anxn−1)=0a_{0}+x(a_{1}+...+a_{n}x^{n-1})=0 a0+x(a1+...+anxn−1)=0
括号内的重复这个步骤，一直到
a0+x(a1+x(a2+(....+x(an))))a_{0}+x(a_{1}+x(a_{2}+(....+x(a_{n})))) a0+x(a1+x(a2+(....+x(an))))
从内到外求即可

原题ai<1010000a_{i}<10^{10000}ai<1010000，并且检查解的时候多项式值会很大，不妨在模数下计算这个值，这样在读入aia_{i}ai时就可以快读取模。模数多可以提高正确性，但常数会变大，代码选用了109+710^{9}+7109+7和109+910^9+9109+9两个模数

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;using ll=long long;
const int N=105,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod1=1e9+7,mod2=1e9+9;int n,m;
ll a1[N],a2[N];bool check(int x)
{ll ret1=0,ret2=0;for(int i=n;i>=1;i--){ret1=(a1[i]+ret1)%mod1*x%mod1;ret2=(a2[i]+ret2)%mod2*x%mod2;}ret1=(ret1+a1[0])%mod1;ret2=(ret2+a2[0])%mod2;return ret1==0&&ret2==0;
}pair<ll,ll> read()
{ll ret1=0,ret2=0,flag=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') flag=0;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){ret1=(ret1*10+ch-48)%mod1;ret2=(ret2*10+ch-48)%mod2;ch=getchar();}return flag?make_pair(ret1,ret2):make_pair(-ret1,-ret2);
}int main()
{#ifdef stdjudgefreopen("in.txt","r",stdin);#endifvector<int>ans;n=read().first; m=read().first;for(int i=0;i<=n;i++){auto tmp=read();a1[i]=tmp.first;a2[i]=tmp.second;}for(int i=1;i<=m;i++)if(check(i)) ans.push_back(i);cout<<ans.size()<<'\n';for(int i:ans) printf("%d\n",i);return 0;
}

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