频率分辨率的一些分析

最近被逼着写去除地震仪器响应的相关程序，不得不重新对本科学的数字信号处理的相关内容进行了学习，对于频率分辨率，做了一些分析．同时牵扯到了香农定律以及奈奎斯特频率（Nyquist frequency),2.56,振幅的保真等相关信息．故记录如下，方便查阅．

香农采样定理是这样描述的:
采样频率 f s f_s fs至少为关心的信号最高频率 f h f_h fh( f m f_m fm)的2倍。采样频率 f s f_s fs的一半称为奈奎斯特频率。采样频率的一半也称为分析带宽,或简称为带宽.

我们这样描述时间分辨率，和频率分辨率：

频率分辨率：
1. 在使用 D F T DFT DFT时，在频率轴上的最小频率间隔． f 0 = 1 / T f_0 = 1/T f0=1/T ( T T T 是时间序列的时间长度)
2. 理解为某一个算法（如功率谱估计方法），将原信号中的两个靠近的谱峰依旧能保持分开的能力．这是比较和检验不同算法性能好坏的指标．
时间分辨率：
在使用 D F T DFT DFT时，在时间轴上所能得到的最小时间间隔 T 0 T_0 T0．即区分信号靠的很近的两个频率点的能力．

这里我们对于时间分辨率分析进行省略，在以后写频谱分析相关内容时，再做扩展．而重点考虑频率分辨率，因为解释一中的分析更加便于理解，且给出了通过时间序列长度来计算频率分辨率的方法，我们采用这种方式来分析．

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fftpack import fft, fftfreq, fftshift
# number of signal points
N = 400
# sample spacing
T = 1.0 / 800.0
x = np.linspace(0.0, N*T, N)
y =np.exp(100.0 * 1.j * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.exp(-80.0 * 1.j * 2.0*np.pi*x)+1.2yf = fft(y)
xf = fftfreq(N, T)
xf = fftshift(xf)
yplot = fftshift(yf)plt.plot(xf, 1.0/N * np.abs(yplot))
plt.grid()
plt.show()

这个例子来自于scipy.fftpack.fft 网页上的说明．这里采样点数 N = 400 N = 400 N=400,采样时间间隔 T 0 = 1.0 / 800 T_0 = 1.0/800 T0=1.0/800,这样我们可以求出 f s = 1.0 / Ｔ 0 = 800 H z f_s = 1.0/Ｔ_0 = 800Hz fs=1.0/Ｔ0=800Hz,时间序列长度 T = N ∗ T 0 = 0.5 s T = N*T_0 = 0.5s T=N∗T0=0.5s,则频率间隔（频率分辨率）为 f 0 = 1.0 / T = 2 H z f_0 = 1.0/T = 2Hz f0=1.0/T=2Hz
这里我们设置了一个时间序列ｙ,有频率１００Ｈｚ,-80Hz,以及０Hz.对其进行傅里叶变换fft,用fftshift将频率系数在０Hz处对称，同时利用fftfreq,得到对称的频率值

图中我们发现这样可以非常好的求得频率域的振幅．

现在我们考虑我们说的频率间隔（频率分辨率） f 0 = 2 H z f_0 = 2Hz f0=2Hz,简单的我们把-80Hz改写成102Hz(这里把其振幅也改成1.0).

图中，可以看出并不能区分出102Hz,100Hz之间的区别．同样如果两者之间的差别小于２Hz，更加不可能看出其间的差异．而当我们将这个间隔提高到４Hz.

图中．我们可以分辨出两者之间的波峰差异了，虽然波峰差异较小，这个例子可以比较直观的理解频率分辨率的概念．值得注意的是，两者振幅的改变，有了香农定律，我们很好的恢复了频率部分，但对于振幅部分，这样仍然有明显的失真，而给出了恢复振幅部分的方式

采样频率 f s f_s fs应该大于10倍信号频率才不会引起明显的失真

为了说明这点，我们将采样频率 f s f_s fs提高到2000Hz,即设置采样时间间隔 T 0 = 1. / 2000 s T_0 = 1./2000s T0=1./2000s,同时为更好的区分两个频率时，将104Hz,提高到200Hz.

如图，采样频率为800Hz，满足香农定律，频率信号没有失真，但是200Hz振幅信号明显失真.

当采样频率提高到2000Hz时(需要分析的最高信号频率的10倍），振幅信号得到了很好的恢复．

另外，对于工程上使用2.56倍而非2.倍的采样频率的原因（这个于实际物理滤波器不可能是理想滤波器有关），在这里就超过了本文的讨论范围．

reference

少不了Alan V. Oppenheim的相关著作：
信号与系统
离散时间信号处理

另外有些博主的博文
采样定理为2倍，为何用2.56倍进行采样
采样频率到底多高才不会使信号幅值明显失真
关于频谱分析中两个重要指标：频率分辨率和时间分辨率的理解及计算
采样频率、采样点数、频率分辨率