初等数论初步——最大公因数

一、定义

定义：给定两个整数a，b,必有公共的因数，叫做它们的公因数，当a,b不全部为0时，在有限个公因数中最大的那个叫做a、b的最大公因数，记作(a,b)

二、一种方法——辗转相除法

描述：设a,b为任意两个整数，且b不为0，应用带余除法，以b除a,得到商q1,余数r1；如果余数r1不为0，以r1除b，得到商q2，余数r2;如果r2不等于0，以r2除r1,如此继续下去，在有限个除法后，必然得到rn不为0且整除rn-1。

三、最大公约数的性质

关于最大公约数有一条重要的性质，这条性质在求解一次同余方程和不定方程时经常遇到。

证明：不妨设b>0,用b除a,则有a = b*q1 + r1,

若r1 = 0,(a,b) = (b,r1) = b;所以(a,b) = a * 0 + b * 1

若r1 != 0,用r1除b;b = r1 * q2 + r2,

　　若r2 = 0,(a,b) = (b,r1) = (r1,r2) = r1 = a - b * q1;所以(a,b) = a * 0 + b * (-q1)

　　若r2 != 0,用r2 除r1;r1 = r2 * q3 + r3.

　　　　若r3 = 0,(a,b) = (r2,r3) = r2 = b - r1 * q2 = b - (a - b * q1) * q2;所以(a,b) = a * (-q2) + b * (1 + q1 * q2)

　　　　若r3 != 0,用r3 除r2........

由于最大公因数一定存在，所以一定可以经过有限次得到rn = 0,所以这样的m,n一定存在且可以求出来。

2）由上面那条性质，可以推出整数的一条性质

证明：因为（a,b） = 1，所以存在整数m,n,使得am + bn = (a,b) = 1,

　　于是(ac)m + (bc)m = c

　　因为a | ac,a | bc，所以a | (ac)m + (bc)m,即a | c

转载于:https://www.cnblogs.com/lfri/p/9313219.html

初等数论初步——最大公因数相关推荐

计算机需要那些高中数学知识点,高中数学-知识点总结-最全版.doc
第 PAGE \* MERGEFORMAT - 2 - 页共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 104 页数学知识点总结引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集 ...
肖博老师高中数学必备知识点总结最全版
从今天开始老师逐步给大家总结现阶段高中数学的知识点,如在学习中遇到问题或咨询解题技巧,查看视频教程等相关问题,欢迎同学们给肖老师留言! 目录结构如下: 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: ...
高中计算机必修选修知识点,新课标高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结...
选修3-5:欧拉公式与闭曲面分类. 选修3-6:三等分角与数域扩充. 系列4:由10个专题组成. 选修4-1:几何证明选讲. 选修4-2:矩阵与变换. 选修4-3:数列与差分. 选修4-4:坐标系与参 ...
概率统计及其应用第三章知识总结_肖博高中数学必备知识点总结最全版-第一更...
从今天开始老师逐步给大家总结现阶段高中数学的知识点,如在学习中遇到问题或咨询解题技巧,查看视频教程等相关问题,欢迎同学们私老师或给肖老师留言! 目录结构如下: 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块 ...
信奥中的数学数论第2讲奇数和偶数
28.891.数的奇偶 (课程6) 难度:1 登录 29.892.同奇偶 (课程6) 难度:1 登录 30.893.奇数个数 (课程6) 难度:1 登录 35.898.2位偶数 (课程7) 难度:1 ...
信奥中的数学数论第1讲整除的概念与基本性质
1.1.4编程基础之逻辑表达式与条件分支 08 判断一个数能否同时被3和5整除 OpenJudge - 08:判断一个数能否同时被3和5整除 /* 1.4编程基础之逻辑表达式与条件分支 08 判断一个 ...
初等数论--整除--线性组合与最大公因数之间的关系
初等数论--整除--线性组合与最大公因数之间的关系博主本人是初学初等数论(整除+同余+原根),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一个系列:初 ...
初等数论--整除--公因数一定是最大公因数的因数
初等数论--整除--公因数一定是最大公因数的因数最大公因数互素公因数一定是最大公因数的因数:d∣a且d∣b↔d∣(a,b)d|a且d|b\leftrightarrow d|(a,b)d∣a且d∣ ...
《初等数论》：最大公因数与最小公倍数
文章目录最大公因数定义定理例题最小公倍数定义定理例题 End 最大公因数定义设ai(i=1,2,⋯,n)\,a_i\,(i=1,2,\cdots,n)\,ai(i=1,2,⋯,n ...

初等数论初步——最大公因数

初等数论初步——最大公因数相关推荐

最新文章

热门文章