一、TSP问题

TSP问题(Travelling Salesman Problem)即旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

TSP问题是一个组合优化问题。该问题可以被证明具有NPC计算复杂性。TSP问题可以分为两类，一类是对称TSP问题(Symmetric TSP)，另一类是非对称问题(Asymmetric TSP)。所有的TSP问题都可以用一个图(Graph)来描述：

V={c1, c2, …, ci, …, cn}，i = 1,2, …, n，是所有城市的集合.ci表示第i个城市，n为城市的数目；

E={(r, s): r,s∈ V}是所有城市之间连接的集合；

C = {crs: r,s∈ V}是所有城市之间连接的成本度量(一般为城市之间的距离)；

如果crs = csr, 那么该TSP问题为对称的，否则为非对称的。

一个TSP问题可以表达为：

求解遍历图G = (V, E, C)，所有的节点一次并且回到起始节点，使得连接这些节点的路径成本最低。

二、粒子群算法

1、基本思想

粒子群算法简称PSO，它的基本思想是模拟鸟群的捕食行为。设想这样一个场景：一群鸟在随机搜索食物。在这个区域里只有一块食物。所有的鸟都不知道食物在那里。但是他们知道当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么呢。最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。

PSO从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟。我们称之为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitness value)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。

PSO 初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个"极值"来更新自己。第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解叫做个体极值pBest。另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值gBest。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。

2、粒子公式

在找到这两个最优值时，粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置：

v[i] = w * v[i] + c1 * rand() * (pbest[i] - present[i]) + c2 * rand() * (gbest - present[i])

present[i] = present[i] + v[i]

其中v[i]代表第i个粒子的速度，w代表惯性权值,c1和c2表示学习参数，rand()表示在0-1之间的随机数,pbest[i]代表第i个粒子搜索到的最优值,gbest代表整个集群搜索到的最优值,present[i]代表第i个粒子的当前位置。

3、个人见解

截止目前为止，粒子群优化算法大体上可以分为两大类，一类是最初的基本粒子群优化算法，一类是改进后的广义粒子群优化算法，其实PSO最初的设计主要用于处理连续优化问题，如求函数极值，在复杂的组合优化问题上它的应用相当有限，后来经过众多学者的改进才将其应用于求解TSP和单机调度之类的问题。广义粒子群算法模型和遗传算法相当类似，目前网上有关于粒子群算法求解TSP的很多论文或代码都是基于广义粒子群算法的，说简单点就是进化思想，用交叉变异代替了基本粒子群算法的迭代公式，当然他们也还是有粒子群优化的本质思想的，如与全局最优编码交叉，与局部最优编码交叉，变异等都是源自于基本粒子群算法的迭代公式。

三、粒子群优化算法求解TSP问题

关于基本粒子群优化算法的使用，可参考最近这篇文章，

自话粒子群算法 ，既然是求解TSP，使用基本的粒子群算法迭代公式肯定是不行的，在这里我也不想写一个与遗传算法差不多的粒子群算法，确实没必要，只要看了解遗传算法，分分钟就能写出来，在这里我想使用一种，比较特别的迭代方式，先来看看它的迭代公式：

我们使用TSP问题依然来自于tsplib上的att48，这是一个对称TSP问题，城市规模为48，其最优值为10628.其距离计算方法下图所示：

好，下面是具体代码：

package noah;

import java.io.BufferedReader;

import java.io.FileInputStream;

import java.io.IOException;

import java.io.InputStreamReader;

import java.util.ArrayList;

import java.util.Random;

public class PSO {

private int bestNum;

private float w;

private int MAX_GEN;// 迭代次数

private int scale;// 种群规模

private int cityNum; // 城市数量，编码长度

private int t;// 当前代数

private int[][] distance; // 距离矩阵

private int[][] oPopulation;// 粒子群

private ArrayList> listV;// 每科粒子的初始交换序列

private int[][] Pd;// 一颗粒子历代中出现最好的解，

private int[] vPd;// 解的评价值

private int[] Pgd;// 整个粒子群经历过的的最好的解，每个粒子都能记住自己搜索到的最好解

private int vPgd;// 最好的解的评价值

private int bestT;// 最佳出现代数

private int[] fitness;// 种群适应度，表示种群中各个个体的适应度

private Random random;

public PSO() {

}

/**

* constructor of GA

*

* @param n

* 城市数量

* @param g

* 运行代数

* @param w

* 权重

**/

public PSO(int n, int g, int s, float w) {

this.cityNum = n;

this.MAX_GEN = g;

this.scale = s;

this.w = w;

}

// 给编译器一条指令，告诉它对被批注的代码元素内部的某些警告保持静默

@SuppressWarnings("resource")

/**

* 初始化PSO算法类

* @param filename 数据文件名，该文件存储所有城市节点坐标数据

* @throws IOException

*/

private void init(String filename) throws IOException {

// 读取数据

int[] x;

int[] y;

String strbuff;

BufferedReader data = new BufferedReader(new InputStreamReader(

new FileInputStream(filename)));

distance = new int[cityNum][cityNum];

x = new int[cityNum];

y = new int[cityNum];

for (int i = 0; i < cityNum; i++) {

// 读取一行数据，数据格式1 6734 1453

strbuff = data.readLine();

// 字符分割

String[] strcol = strbuff.split(" ");

x[i] = Integer.valueOf(strcol[1]);// x坐标

y[i] = Integer.valueOf(strcol[2]);// y坐标

}

// 计算距离矩阵

// ，针对具体问题，距离计算方法也不一样，此处用的是att48作为案例，它有48个城市，距离计算方法为伪欧氏距离，最优值为10628

for (int i = 0; i < cityNum - 1; i++) {

distance[i][i] = 0; // 对角线为0

for (int j = i + 1; j < cityNum; j++) {

double rij = Math

.sqrt(((x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + (y[i] - y[j])

* (y[i] - y[j])) / 10.0);

// 四舍五入，取整

int tij = (int) Math.round(rij);

if (tij < rij) {

distance[i][j] = tij + 1;

distance[j][i] = distance[i][j];

} else {

distance[i][j] = tij;

distance[j][i] = distance[i][j];

}

}

}

distance[cityNum - 1][cityNum - 1] = 0;

oPopulation = new int[scale][cityNum];

fitness = new int[scale];

Pd = new int[scale][cityNum];

vPd = new int[scale];

/*

* for(int i=0;i

*/

Pgd = new int[cityNum];

vPgd = Integer.MAX_VALUE;

// nPopulation = new int[scale][cityNum];

bestT = 0;

t = 0;

random = new Random(System.currentTimeMillis());

/*

* for(int i=0;i

* System.out.print(distance[i][j]+","); } System.out.println(); }

*/

}

// 初始化种群，多种随机生成办法

void initGroup() {

int i, j, k;

for (k = 0; k < scale; k++)// 种群数

{

oPopulation[k][0] = random.nextInt(65535) % cityNum;

for (i = 1; i < cityNum;)// 粒子个数

{

oPopulation[k][i] = random.nextInt(65535) % cityNum;

for (j = 0; j < i; j++) {

if (oPopulation[k][i] == oPopulation[k][j]) {

break;

}

}

if (j == i) {

i++;

}

}

}

/*

* for(i=0;i

* System.out.print(oldPopulation[i][j]+","); } System.out.println(); }

*/

}

void initListV() {

int ra;

int raA;

int raB;

listV = new ArrayList>();

for (int i = 0; i < scale; i++) {

ArrayList list = new ArrayList();

ra = random.nextInt(65535) % cityNum;

for (int j = 0; j < ra; j++) {

raA = random.nextInt(65535) % cityNum;

raB = random.nextInt(65535) % cityNum;

while (raA == raB) {

raB = random.nextInt(65535) % cityNum;

}

// raA与raB不一样

SO s = new SO(raA, raB);

list.add(s);

}

listV.add(list);

}

}

public int evaluate(int[] chr) {

// 0123

int len = 0;

// 编码，起始城市,城市1,城市2...城市n

for (int i = 1; i < cityNum; i++) {

len += distance[chr[i - 1]][chr[i]];

}

// 城市n,起始城市

len += distance[chr[cityNum - 1]][chr[0]];

return len;

}

// 求一个基本交换序列作用于编码arr后的编码

public void add(int[] arr, ArrayList list) {

int temp = -1;

SO s;

for (int i = 0; i < list.size(); i++) {

s = list.get(i);

temp = arr[s.getX()];

arr[s.getX()] = arr[s.getY()];

arr[s.getY()] = temp;

}

}

// 求两个编码的基本交换序列，如A-B=SS

public ArrayList minus(int[] a, int[] b) {

int[] temp = b.clone();

/*

* int[] temp=new int[L]; for(int i=0;i

*/

int index;

// 交换子

SO s;

// 交换序列

ArrayList list = new ArrayList();

for (int i = 0; i < cityNum; i++) {

if (a[i] != temp[i]) {

// 在temp中找出与a[i]相同数值的下标index

index = findNum(temp, a[i]);

// 在temp中交换下标i与下标index的值

changeIndex(temp, i, index);

// 记住交换子

s = new SO(i, index);

// 保存交换子

list.add(s);

}

}

return list;

}

// 在arr数组中查找num，返回num的下标

public int findNum(int[] arr, int num) {

int index = -1;

for (int i = 0; i < cityNum; i++) {

if (arr[i] == num) {

index = i;

break;

}

}

return index;

}

// 将数组arr下标index1与下标index2的值交换

public void changeIndex(int[] arr, int index1, int index2) {

int temp = arr[index1];

arr[index1] = arr[index2];

arr[index2] = temp;

}

// 二维数组拷贝

public void copyarray(int[][] from, int[][] to) {

for (int i = 0; i < scale; i++) {

for (int j = 0; j < cityNum; j++) {

to[i][j] = from[i][j];

}

}

}

// 一维数组拷贝

public void copyarrayNum(int[] from, int[] to) {

for (int i = 0; i < cityNum; i++) {

to[i] = from[i];

}

}

public void evolution() {

int i, j, k;

int len = 0;

float ra = 0f;

ArrayList Vi;

// 迭代一次

for (t = 0; t < MAX_GEN; t++) {

// 对于每颗粒子

for (i = 0; i < scale; i++) {

if(i==bestNum) continue;

ArrayList Vii = new ArrayList();

//System.out.println("------------------------------");

// 更新速度

// Vii=wVi+ra(Pid-Xid)+rb(Pgd-Xid)

Vi = listV.get(i);

// wVi+表示获取Vi中size*w取整个交换序列

len = (int) (Vi.size() * w);

//越界判断

//if(len>cityNum) len=cityNum;

//System.out.println("w:"+w+" len:"+len+" Vi.size():"+Vi.size());

for (j = 0; j < len; j++) {

Vii.add(Vi.get(j));

}

// Pid-Xid

ArrayList a = minus(Pd[i], oPopulation[i]);

ra = random.nextFloat();

// ra(Pid-Xid)+

len = (int) (a.size() * ra);

//越界判断

//if(len>cityNum) len=cityNum;

//System.out.println("ra:"+ra+" len:"+len+" a.size():"+a.size());

for (j = 0; j < len; j++) {

Vii.add(a.get(j));

}

// Pid-Xid

ArrayList b = minus(Pgd, oPopulation[i]);

ra = random.nextFloat();

// ra(Pid-Xid)+

len = (int) (b.size() * ra);

//越界判断

//if(len>cityNum) len=cityNum;

//System.out.println("ra:"+ra+" len:"+len+" b.size():"+b.size());

for (j = 0; j < len; j++) {

SO tt= b.get(j);

Vii.add(tt);

}

//System.out.println("------------------------------Vii.size():"+Vii.size());

// 保存新Vii

listV.add(i, Vii);

// 更新位置

// Xid’=Xid+Vid

add(oPopulation[i], Vii);

}

// 计算新粒子群适应度，Fitness[max],选出最好的解

for (k = 0; k < scale; k++) {

fitness[k] = evaluate(oPopulation[k]);

if (vPd[k] > fitness[k]) {

vPd[k] = fitness[k];

copyarrayNum(oPopulation[k], Pd[k]);

bestNum=k;

}

if (vPgd > vPd[k]) {

System.out.println("最佳长度"+vPgd+" 代数："+bestT);

bestT = t;

vPgd = vPd[k];

copyarrayNum(Pd[k], Pgd);

}

}

}

}

public void solve() {

int i;

int k;

initGroup();

initListV();

// 每颗粒子记住自己最好的解

copyarray(oPopulation, Pd);

// 计算初始化种群适应度，Fitness[max],选出最好的解

for (k = 0; k < scale; k++) {

fitness[k] = evaluate(oPopulation[k]);

vPd[k] = fitness[k];

if (vPgd > vPd[k]) {

vPgd = vPd[k];

copyarrayNum(Pd[k], Pgd);

bestNum=k;

}

}

// 打印

System.out.println("初始粒子群...");

for (k = 0; k < scale; k++) {

for (i = 0; i < cityNum; i++) {

System.out.print(oPopulation[k][i] + ",");

}

System.out.println();

System.out.println("----" + fitness[k]);

/*

ArrayList li = listV.get(k);

int l = li.size();

for (i = 0; i < l; i++) {

li.get(i).print();

}

System.out.println("----");

*/

}

// 进化

evolution();

// 打印

System.out.println("最后粒子群...");

for (k = 0; k < scale; k++) {

for (i = 0; i < cityNum; i++) {

System.out.print(oPopulation[k][i] + ",");

}

System.out.println();

System.out.println("----" + fitness[k]);

/*

ArrayList li = listV.get(k);

int l = li.size();

for (i = 0; i < l; i++) {

li.get(i).print();

}

System.out.println("----");

*/

}

System.out.println("最佳长度出现代数：");

System.out.println(bestT);

System.out.println("最佳长度");

System.out.println(vPgd);

System.out.println("最佳路径：");

for (i = 0; i < cityNum; i++) {

System.out.print(Pgd[i] + ",");

}

}

/**

* @param args

* @throws IOException

*/

public static void main(String[] args) throws IOException {

System.out.println("Start....");

PSO pso = new PSO(48, 5000, 30, 0.5f);

pso.init("c://data.txt");

pso.solve();

}

}

运行结果截图：

四、总结

对于这个实验结果，其实我个人是不能接受的，但是目前我只能把问题归结于那篇论文提出的迭代公式上，不过那论文年代久远，它上面就试了14个点，这里是48个，差距肯定是有的，或许这里再进行一些调整，没准效果会好些，但是目前我本人时间有限，还来不及深入实验，只能让感兴趣的人来进行深入剥解！