1 同济大学高等数学定义

我们从几何上看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，如图3-8（a）；而有的曲线弧，则正好相反，如图 3-8（b）。曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。

因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义：

2 国际上的定义

国际上的定义刚好与国内的凹凸函数的定义相反。

二阶导数大于0，则为凸函数，有极小值；二阶导数小于0，则为凹函数，有极大值。

（数学分析和高等数学对于凸凹函数的定义是反的）

3 黑塞矩阵

黑塞矩阵（Hessian matrix）是一个二阶偏导数的方阵。它描述了多元函数的二阶变化率，用于衡量函数在某一点的曲率和局部形状。当函数的黑塞矩阵的所有特征值大于等于零时，函数是凸函数。当函数的黑塞矩阵的所有特征值小于等于零时，函数是凹函数。

黑塞矩阵在优化问题中起着重要的作用，特别是在求解最优化问题时。它提供了关于目标函数局部二阶变化的信息，包括函数的梯度和二阶导数。通过黑塞矩阵，我们可以判断函数的局部最小值、最大值或鞍点，并可以确定迭代算法的收敛性和速度。黑塞矩阵还用于确定牛顿法、拟牛顿法等优化算法中的搜索方向和步长。

在数学和优化领域，黑塞矩阵是一个重要的工具，可用于求解非线性方程、最小二乘问题、非线性规划等优化问题，并且在机器学习算法（如逻辑回归、神经网络）的训练过程中也得到广泛应用。

函数凹凸性与黑塞矩阵相关推荐

关于函数凹凸性两种定义与二阶导数符号之间的联系证明
什么是函数的凹凸性函数的凹凸性即对一个在某区间A上连续的函数,它的图像上凸或者上凹,则分别称为凸函数或者凹函数.而对于在某个区间内既有凹图像又有凸图像,则将凹图像所在区间称为函数的凹区间,凸图像所在 ...
海瑟矩阵和函数凹凸性之间的关系
以下阐述以2维的凸函数(convex function)为例注释:可以推广到多维的凸函数和凹函数(concave function) 我们定义2维的函数为 f(x),x=[x1,x2]T∈R2f(\ ...
利用二次导数对函数凹凸性的证明
很多人其实都知道可以利用函数的二次导数来判断函数的凹凸性,但是很多人忘记了怎么来证明的,在这里我来再次证明一下. 求证:若f(x)在(a,b)内连续并且二次可导,若f''(x)>0则函数凹,反之 ...
高数-导数的应用--函数凹凸性与拐点
一.定义注:1.拐点是一个点,极值点.驻点仅有横坐标的值 2.极值点不一定是函数的连续点,拐点一定是连续函数的点. 二.判定 ------------------------------------ ...
考研数二第九讲函数凹凸性证明，求极值以及拐点及渐近线
什么是函数的凹凸性函数的凹凸性即对一个在某区间A上连续的函数,它的图像上凸或者上凹,则分别称为凸函数或者凹函数.而对于在某个区间内既有凹图像又有凸图像,则将凹图像所在区间称为函数的凹区间,凸图像所在 ...
Hessian矩阵正定与函数凹凸性的关系
1. 从矩阵变换的角度首先半正定矩阵定义为: 其中X 是向量,M 是变换矩阵我们换一个思路看这个问题,矩阵变换中,代表对向量 X进行变换,我们假设变换后的向量为Y,记做.于是半正定矩阵可以写成: ...
函数凹凸性证明中点函数值和函数值中点的关系
就是突然灵机一动,把他化成拉格朗日形式就行. 我可真是个天才啊
二元函数凹凸性判定及最值定理
同济大学高等数学上册电子版_函数的凹凸性漫谈｜高等数学漫步（二）
(找不到合适的题图,放一个好看的分形的图) 学习凹凸性的过程对我来说充满了曲折和戏剧性,让我回想起来哭笑不得.让我把这段细细讲述-- 初识凹凸性: 上大学之前,我有看一些高数,看到过关于函数凹凸性的东 ...

函数凹凸性与黑塞矩阵

1 同济大学高等数学定义

2 国际上的定义

3 黑塞矩阵

函数凹凸性与黑塞矩阵相关推荐

最新文章

热门文章