卡尔曼滤波(kalman)

卡尔曼（kalman）滤波原理

kalman滤波器可以看做状态变量在由观测生成的线性空间上的射影。

如下状态空间模型描述的动态系统：

$\mathit{X\left ( k+1 \right )= \Phi X\left ( k \right )+\Gamma W\left ( k \right )}$ (1)

$\mathit{Y(k)=HX(k)+V(k)}$ (2)

式中，k为离散时间，系统在时刻k的状态为 $X(k)\in R^n\boldsymbol{\mathit{}}$ ； $Y(k)\in R^m\boldsymbol{\mathit{}}$ 为对应状态的观测信号； $\mathit{W(k)\in R^r}$ 为输入的白噪声； $V(k)\in R^m\mathit{}$ 为观测噪声。

称式（1）为状态方程，称式（2）为观测方程。称 $\mathit{\Phi}$ 为状态转移矩阵， $\Gamma \mathit{}$ 为噪声驱动矩阵，H为观测矩阵。

假设W(k)和V(k)是均值为0，方差各为Q、R的不相关白噪声，初始状态X(0)不相关与W(k)和V(k) 。

由式(1)、(2)在假设条件下，递推出kalman滤波器如下：

状态一步预测： $\hat{X}(k+1|k)=\Phi \hat{X}(k|k)$

状态更新： $\hat{X}(k+1|k+1)=\hat{X}(k+1|k)+K(k+1)\varepsilon (k+1)$

$\varepsilon (k+1)=Y(k+1)-H\hat{X}(k+1|k)$

滤波增益矩阵： $K(k+1)=P(k+1|k)H^T[HP(k+1|k)H^T+R]^{-1}$

一步预测协方差阵： $P(k+1|k)=\Phi P(k|k)\Phi^{T}+\Gamma Q \Gamma ^T$

协方差更新： $P(k+1|k+1)=[I_n-K(k+1)H]P(k+1|k)$

$\hat{X}(0|0)=\mu _0, P(0|0)=P_0$

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