转载自：lotabout.me

正文

跳表(skip list) 对标的是平衡树(AVL Tree)，是一种插入/删除/搜索都是 O(log n) 的数据结构。跳跃表和二叉查找它最大的优势是原理简单、容易实现、方便扩展、效率更高。因此在一些热门的项目里用来替代平衡树，如 redis, leveldb 等。

跳表的基本思想

首先，跳表处理的是有序的链表（一般是双向链表，下图未表示双向），如下：
这个链表中，如果要搜索一个数，需要从头到尾比较每个元素是否匹配，直到找到匹配的数为止，即时间复杂度是 O(n)。同理，插入一个数并保持链表有序，需要先找到合适的插入位置，再执行插入，总计也是 O(n) 的时间。

那么如何提高搜索的速度呢？很简单，做个索引：

如上图，我们新创建一个链表，它包含的元素为前一个链表的偶数个元素。这样在搜索一个元素时，我们先在上层链表进行搜索，当元素未找到时再到下层链表中搜索。例如搜索数字 19 时的路径如下图：

先在上层中搜索，到达节点 17 时发现下一个节点为 21，已经大于 19，于是转到下一层搜索，找到的目标数字 19。

我们知道上层的节点数目为 n/2，因此，有了这层索引，我们搜索的时间复杂度降为了：O(n/2)。同理，我们可以不断地增加层数，来减少搜索的时间：

在上面的 4 层链表中搜索 25，在最上层搜索时就可以直接跳过 21 之前的所有节点，因此十分高效。

更一般地，如果有 k 层，我们需要的搜索次数会小于 ⌈ n 2 k \frac{n}{2^k} 2kn⌉+ k k k，这样当层数 k 增加到 ⌈ l o g 2 n log_2n log2n⌉ 时，搜索的时间复杂度就变成了 l o g n logn logn。其实这背后的原理和二叉搜索树或二分查找很类似，通过索引来跳过大量的节点，从而提高搜索效率。

跳表

上节的结构是“静态”的，即我们先拥有了一个链表，再在之上建了多层的索引。但是在实际使用中，我们的链表是通过多次插入/删除形成的，换句话说是“动态”的。上节的结构要求上层相邻节点与对应下层节点间的个数比是 1:2，随意插入/删除一个节点，这个要求就被被破坏了。

因此跳表（skip list）表示，我们就不强制要求 1:2 了，一个节点要不要被索引，建几层的索引，都在节点插入时由抛硬币决定。当然，虽然索引的节点、索引的层数是随机的，为了保证搜索的效率，要大致保证每层的节点数目与上节的结构相当。下面是一个随机生成的跳表：

可以看到它每层的节点数还和上节的结构差不多，但是上下层的节点的对应关系已经完全被打破了。

现在假设节点 17 是最后插入的，在插入之前，我们需要搜索得到插入的位置：

接着，抛硬币决定要建立几层的索引，伪代码如下：

randomLevel()lvl := 1-- random() that returns a random value in [0...1)while random() < p and lvl < MaxLevel dolvl := lvl + 1return lvl

上面的伪代码相当于抛硬币，如果是正面（random() < p）则层数加一，直到抛出反面为止。其中的 MaxLevel 是防止如果运气太好，层数就会太高，而太高的层数往往并不会提供额外的性能，一般 MaxLevel= log ⁡ 1 / p n \log_{1/p} {n} log1/pn。现在假设 randomLevel 返回的结果是 2，那么就得到下面的结果。

如果要删除节点，则把节点和对应的所有索引节点全部删除即可。当然，要删除节点时需要先搜索得到该节点，搜索过程中可以把路径记录下来，这样删除索引层节点的时候就不需要多次搜索了。

显然，在最坏的情况下，所有节点都没有创建索引，时间复杂度为O(n)，但在平均情况下，搜索的时间复杂度却是 O(logn)，为什么呢？

简单的性能分析

一些严格的证明会涉及到比较复杂的概率统计学知识，所以这里只是简单地说明。

每层的节点数目

上面我们提到 MaxLevel，原版论文中用 L(n) 来表示，要求 L(n) 层有 1/p 个节点，在搜索时可以不理会比 L(n) 更高的层数，直接从 L(n) 层开始搜索，这样效率最高。

直观上看1，第 l 层的节点中在第 l+1 层也有索引的个数是 n l + 1 n_{l+1} nl+1= n l n_l nlP 因此第 l 层的节点个数为：

n l = n p l − 1 n_l=np^{l−1} nl=npl−1

于是代入 n L ( n ) n_{L(n)} nL(n)=1/p 得到 L ( n ) L(n) L(n)= log ⁡ 1 / p n \log_{1/p} {n} log1/pn。

最高的层数

上面推导到每层的节点数目，直观上看，如果某一层的节点数目小于等于 1，则可以认为它是最高层了，代入n p l − 1 p^{l−1} pl−1 =1 得到层数 L m a x L_{max} Lmax= log ⁡ 1 / p n \log_{1/p} {n} log1/pn+1= L ( n ) L(n) L(n)+1=O( l o g n log_n logn)。

实际上这个问题并没有直接的解析解，我们能知道的是，当 n 足够大时，最大能达到的层数为 O(logn)，详情可以参见我的另一篇博客最高楼层问题。

搜索的时间复杂度

为了计算搜索的时间复杂度，我们可以将查找的过程倒过来，从搜索最后的节点开始，一直向左或向上，直到最顶层。如下图，在路径上的每一点，都可能有两种情况：

节点有上一层的节点，向上。这种情况出现的概率是 p。
节点没有上一层的节点，向左。出现的概率是 1-p。

于是，设 C ( k ) C(k) C(k) 为反向搜索爬到第 k 层的平均路径长度，则有：

C(0) = 0
C(k) = p * (情况1) + (1-p) * (情况2)

将两种情况也用 C C C 代入，有：

C(k) = p*(1 + C(k–1)) + (1–p)*(1 + C(k))
C(k) = C(k–1) + 1/p
C(k) = k/p

上式表明，搜索时，平均在每层上需要搜索的路径长度为 1/p，从平均的角度上和我们第一小节构造的“静态”结构相同（p 取 1/2）。

又注意到，上小节我们知道跳表的最大层数为 O( l o g n logn logn)，因此，搜索的复杂度
O( l o g n logn logn) /p =O( l o g n logn logn)。

P.S. 这里我们用到的是最大层数，原论文证明时用到的是 L ( n ) L(n) L(n)，然后再考虑从 L ( n ) L(n) L(n)层到最高层的平均节点个数。这里为了理解方便不再详细证明。

skiplist与平衡树、哈希表的比较

skiplist和各种平衡树（如AVL、红黑树等）的元素是有序排列的，而哈希表不是有序的。因此，在哈希表上只能做单个key的查找，不适宜做范围查找。所谓范围查找，指的是查找那些大小在指定的两个值之间的所有节点。
在做范围查找的时候，平衡树比skiplist操作要复杂。在平衡树上，我们找到指定范围的小值之后，还需要以中序遍历的顺序继续寻找其它不超过大值的节点。如果不对平衡树进行一定的改造，这里的中序遍历并不容易实现。而在skiplist上进行范围查找就非常简单，只需要在找到小值之后，对第1层链表进行若干步的遍历就可以实现。
平衡树的插入和删除操作可能引发子树的调整，逻辑复杂，而skiplist的插入和删除只需要修改相邻节点的指针，操作简单又快速。
从内存占用上来说，skiplist比平衡树更灵活一些。一般来说，平衡树每个节点包含2个指针（分别指向左右子树），而skiplist每个节点包含的指针数目平均为1/(1-p)，具体取决于参数p的大小。如果像Redis里的实现一样，取p=1/4，那么平均每个节点包含1.33个指针，比平衡树更有优势。
查找单个key，skiplist和平衡树的时间复杂度都为O(log n)，大体相当；而哈希表在保持较低的哈希值冲突概率的前提下，查找时间复杂度接近O(1)，性能更高一些。所以我们平常使用的各种Map或dictionary结构，大都是基于哈希表实现的。
从算法实现难度上来比较，skiplist比平衡树要简单得多。

小结

各种搜索结构提高效率的方式都是通过空间换时间得到的。
跳表最终形成的结构和搜索树很相似。
跳表通过随机的方式来决定新插入节点来决定索引的层数。
跳表搜索的时间复杂度是 O(logn)，插入/删除也是。

想到快排(quick sort)与其它排序算法（如归并排序/堆排序）虽然时间复杂度是一样的，但复杂度的常数项较小；跳表的原论文也说跳表能提供一个常数项的速度提升，因此想着常数项小是不是随机算法的一个特点？这也它们大放异彩的重要因素吧。

参考:

ftp://ftp.cs.umd.edu/pub/skipLists/skiplists.pdf 原论文
https://ticki.github.io/blog/skip-lists-done-right/ skip list 的一些变种、优化
https://eugene-eeo.github.io/blog/skip-lists.html skip list 的一些相关复杂度分析
http://cglab.ca/~morin/teaching/5408/refs/p90b.pdf skip list cookbook，算是 skip list 各方面的汇总
一个可以在有序元素中实现快速查询的数据结构包含 skip list 的 C++ 实现
Redis内部数据结构详解(6)——skiplist 图文并茂讲解 skip list，可与本文交叉对照
https://www.youtube.com/watch?v=2g9OSRKJuzM MIT 关于 skip list 的课程
https://courses.csail.mit.edu/6.046/spring04/handouts/skiplists.pdf MIT 课程讲义
Redis 为什么用跳表而不用平衡树？-掘金_ 张铁蕾

Skip List（跳表）相关推荐

C++实现skip list跳表(附完整源码)
C++实现skip list跳表实现skip list跳表算法的完整源码(定义,实现,main函数测试) 实现skip list跳表算法的完整源码(定义,实现,main函数测试) #include ...
Skip List——跳表，一个高效的索引技术
对于一个查询任务,如果不能开辟连续空间进而采样二分查找进行处理的话,通常各种树,各种碉堡的更高级的数据结构就会被提出,用来快速进行数据查询. 在这里,我无意显示自己的高人一等或是弱智一面,但是对于常见 ...
java数据结构红黑树上旋下旋_存储系统的基本数据结构之一: 跳表 (SkipList)
在接下来的系列文章中,我们将介绍一系列应用于存储以及IO子系统的数据结构.这些数据结构相互关联又有着巨大的区别,希望我们能够不辱使命的将他们分门别类的介绍清楚.本文为第一节,介绍一个简单而又有用的数据 ...
二叉树跳表_漫谈 LevelDB 数据结构（一）：跳表（Skip List）
早对 LevelDB 有所耳闻,这次心血来潮结合一些资料粗略过了遍代码,果然名不虚传--绝对是不世出的工艺品!如果你对存储感兴趣.如果你想优雅使用C++.如果你想学习如何架构项目,都推荐来观摩一下.谷 ...
【恋上数据结构】跳表（Skip List）原理及实现
跳表(Skip List) 引出跳表跳表介绍跳表原理及实现使用跳表优化链表跳表基础结构跳表的搜索跳表的添加.删除跳表的层数跳表的复杂度分析跳表 - 完整源码数据结构与算法笔记:恋上 ...
插入的数据不能时时查询到_漫谈 LevelDB 数据结构（一）：跳表（Skip List）
早对 LevelDB 有所耳闻,这次心血来潮结合一些资料粗略过了遍代码,果然名不虚传--绝对是不世出的工艺品!如果你对存储感兴趣.如果你想优雅使用C++.如果你想学习如何架构项目,都推荐来观摩一下.谷 ...
九、跳表(Skip List)
一.概述跳表是一种在各个方面都比较优秀的动态数据结构,可支持快速的插入.删除.查找操作,甚至可以替代红黑树(Red-black Tree) 应用:Redis 中的有序集合(sorted set)是用 ...
跳表（Skip list）
跳表是什么样的? 对链表稍加改造,每两个节点抽取一个节点到上一层,即索引层,这种添加多级索引的结构就是跳表.利用空间换时间的设计思路,redis的有序集合的实现使用到了跳表. redis中有序集合支持 ...
Skip List--跳表（全网最详细的跳表文章没有之一）
本文是转载作者:fanrui 链接:https://www.jianshu.com/p/9d8296562806 来源:简书跳表是一种神奇的数据结构,因为几乎所有版本的大学本科教材上都没有跳表这种 ...

Skip List（跳表）