A(填) 阶乘位数

蒜头君对阶乘产生了兴趣，他列出了前 10 个正整数的阶乘以及对应位数的表：

对于蒜头君来说，再往后就很难计算了。他试图寻找阶乘位数的规律，但是失败了。现在请你帮他计算出第一个正整数的阶乘位数大于等于 10000 的数是多少，即求最小的正整数 n 满足 n! 的位数大于等于 10000。

方法一：BigInteger 阶乘

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{public static void main(String[] args) throws IOException {  Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out, true); //自动刷新BigInteger one = BigInteger.ONE;BigInteger sum = BigInteger.ONE;BigInteger num = BigInteger.valueOf(1);int len = 0;while (len < 10000) {num = num.add(one);sum = sum.multiply(num);len = sum.toString().length();}pw.println(num);}
}

方法二：斯特林公式

ln(N!)=ln(1)+ln(2)+...+ln(N−1)+ln(N)ln(N!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(N-1) + ln(N)ln(N!)=ln(1)+ln(2)+...+ln(N−1)+ln(N) 可以求出 N!N!N! 的阶乘位数

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{public static void main(String[] args) throws IOException {  Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out, true); //自动刷新int res = 0; double sum = 0;          //注：变量类型for (int i = 1; ; i++) {sum += Math.log10(i);if (sum >= 10000) {res = i;break;}}pw.println(res + " ");}
}

答案：3249

B(填) 炮台实验

方法一：递推

思路

第 1 高的炮台对期望的贡献值为 1，因为它放在那里都不会挂。
第 2 高的炮台对期望的贡献值为 12\cfrac{1}{2}21。
- 放在第 1 高的左边不会挂。
- 放在第 1 高的右边不挂了。
第 3 高的炮台对期望的贡献值为 13\cfrac{1}{3}31。
- 放在第 1 和 2 高炮台的中间。
- 放在第 1 和 2 高炮台的两边。
…

以此类推，问题转化为：sum(sum(sum( 1第n高的炮台的插入位置\cfrac{1}{第\ n\ 高的炮台的插入位置}第 n 高的炮台的插入位置1)))

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{public static void main(String[] args) throws IOException {  Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out, true); //自动刷新double sum = 0;for (int i = 1; i <= 2019; i++) {sum += 1.0 / i;}pw.println(String.format("%.4f", sum));}
}

* 遗忘问题：又忘记了如何输出指定位数的小数。

String.format("%.4f", sum)

答案：8.1878

C(填) 马的管辖

在中国象棋中，马是走日字的。一个马的管辖范围指的是当前位置以及一步之内能走到的位置，下图的绿色旗子表示马能走到的位置。

如果一匹马的某个方向被蹩马脚，它就不能往这个方向跳了，如下图所示，海星的位置存在旗子，马就不能往上跳到那两个位置了：

那么问题来了，在一个 n×mn×mn×m 的棋盘内，如何用最少的马管辖住所有 n×mn×mn×m 个格子。比如 n=m=3n=m=3n=m=3 时，最少要用 5 只马才能管辖所有棋盘，一种可能的方案如下：

当 n=m=5n=m=5n=m=5 时，请你求出用最少马管辖的 方案个数。

方法一：

答案：

复杂度分析

时间复杂度：O()O()O()，
空间复杂度：O()O()O()，

D(填) 修建公路

蒜头国有 n 座城市，编号分别为 0,1,2,3,…,n−1。编号为 x 和 y 的两座城市之间如果要修高速公路，必须花费 x∣y 个金币，其中 | 表示二进制按位或。

吝啬的国王想要花最少的价格修建高速公路，使得所有城市可以通过若干条高速公路互相达到。现在请你求出 n=2019 时，一共有多少不同的方案，能让所有城市连通并且造价最低。方案数可能很大，你只需输出对 109+710^9+7109+7 取模的结果。

方法一：

答案：

复杂度分析

时间复杂度：O()O()O()，
空间复杂度：O()O()O()，

E(填) 欧拉函数

F(设) 掎角之势

在《亮剑》中，李云龙发动的平安战役不仅把晋西北搅成一锅粥，还成为了第二次世界大战的转折点。

晋绥军 358 团楚云飞得到探报，有大批日军向平安县城移动，于是他准备帮帮场子。友军在平安附近有三个团的兵力，分别是李云龙的独立团，丁伟的新一团，孔捷的新二团，他们三人互成掎角之势。

作为黄埔军校毕业生的楚云飞，对自己的数学非常自信。在研究了友军的防区分布后，想知道李云龙、丁伟、孔捷这三人指挥部位置所形成的三角形的内切圆和外接圆的面积。因为他们的位置是不断变化的，每次重新算一遍很麻烦，想请你编程帮忙来计算。

本题答案不唯一，符合要求的答案均正确.

样例输入
4
0 3 4 0 0 0
0 0 10 10 -10 -10
3 3 5 3 3 5
0 0 -5 -10 5 -10样例输出
3.1415926536 19.6349540849
NO SOLUTION
1.0780241689 6.2831853072
29.9995403716 122.7184630309

方法一：

复杂度分析

时间复杂度：O()O()O()，
空间复杂度：O()O()O()，

G(设) 轻重搭配

H(设) 忽明忽暗

尝试一：枚举（30%）

-1 表示暗的，1 表示亮的。数据太大，O(n2)O(n^2)O(n2) 算法承受了。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{public static void main(String[] args) throws IOException { int MOD = (int)1e9 + 7;Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out, true); //自动刷新int N = sc.nextInt();long[] arr = new long[N+1];Arrays.fill(arr, -1);for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = i; j <= N; j+=i)arr[j] = -arr[j];}long sum = 0;for (int i = 1; i <= N; i++) {if (arr[i] > 0) {sum += i;sum %= MOD;}}pw.println(sum);}
}

尝试二：找规律（C++ 60% | java 30%）

先暴力打一下表，结果发现：

当 N = 100 时，最后亮着的灯的编号为：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100，
当 N = 100 时，最后亮着的灯的编号为：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196，
…

最后亮着的灯编号之和 = 小于等于 N 的平方数之和。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{public static void main(String[] args) throws IOException { int MOD = (int)1e9 + 7;Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out, true); //自动刷新int N = sc.nextInt();long sum = 0;for (long i = 1; i * i <= N; i++) {sum += i*i;}pw.println(sum % MOD);}
}

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{public static void main(String[] args) throws IOException { int MOD = (int)1e9 + 7;Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out, true); //自动刷新int n = sc.nextInt();n = (int)Math.sqrt(n);long sum = n*(n+1)*(2*n+1)/6 % MOD;pw.println(sum);}
}

* 超时：不清楚为何 java 只能过 30%，不过这不要紧，这帮我们找到了出发点，其实可以用求平方和公式 n×（n+1）×（2n+1)/6n × （n+1） × （2n+1) /6n×（n+1）×（2n+1)/6 代替迭代。

I(设) 人以群分

方法一：

复杂度分析

时间复杂度：O()O()O()，
空间复杂度：O()O()O()，

J(设) 势能之和

方法一：

复杂度分析

时间复杂度：O()O()O()，
空间复杂度：O()O()O()，

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