大数定律及中心极限定理
一、定理概述:
1.大数定律
①弱大数定理(辛钦大数定理)
对于独立同分布且具有均值的随机变量,当n很大时,它们的算术平均很可能接近于μ。
②伯努利大数定理
事件“频率与概率的偏差小于”实际上几乎是必定要发生的(此即频率稳定性的真正含义)。即当实验次数很大时,便可以用事件的频率来代替事件的概率。
2.中心极限定理
①独立同分布的中心极限定理(林德贝格-列维定理)
均值为,方差为的n个独立同分布的随机变量,当n充分大时,其和近似服从均值为,方差为的正态分布。
②李雅普诺夫(Lyapunov)定理
任意分布的n个随机变量,,当n充分大时,近似满足正态分布(详见下文)。
③棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理
正态分布是二项分布的极限分布(详见下文)。
二、大数定律
1.弱大数定理(辛钦大数定理)
设是独立同分布的随机变量序列,且具有数学期望,那么对于任意,有
证明:
2.伯努利大数定理
设是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p数事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意正数,有
或
证明:
三、中心极限定理
1.独立同分布的中心极限定理(林德贝格-列维定理)
设变量独立同分布,且有,则随机变量之和的标准化变量
的分布函数对于任意x满足
证明略
2.李雅普诺夫(Lyapunov)定理
设变量相互独立,它们具有数学期望方差
记
若存在正数,使得当时,
则随机变量之和的标准化变量
的分布函数对于同样任意x,满足
证明略
3.棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理
设随机变量服从参数为的二项分布,则对于任意x,有
若设的期望与方差分为,那么有,则上式可写为
证明:
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