麦克斯韦方程组之波动方程的导出

Abstract

导出电磁波在均匀且各向同性介质中的波动方程。

Maxwell方程组

$\left\{\begin{matrix} \nabla\cdot\mathbf{D} = \rho\\ \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf{B}=0\\ \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \end{matrix}\right.$

考虑无源的场，即空间没有自由电荷和自由电流分布

$\rho=0,\mathbf{J}=0$

原方程变为

$\left\{\begin{matrix} \nabla\cdot\mathbf{D} = 0\\ \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf{B}=0\\ \nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \end{matrix}\right.$

考虑电场矢量和电位移矢量的关系，磁场矢量和磁感应强度矢量的关系

$\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E},\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}$

其中，电导率和磁导率与传播的介质相关，对于均匀线性的介质可以认为是常数，而一般的介质则使用张量表示。将这对关系代入方程，得到电场矢量和磁感应矢量的方程组

$\left\{\begin{matrix} \nabla\cdot\mathbf{E} = 0\\ \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf{B}=0\\ \nabla\times\mathbf{B}=\mu\varepsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{matrix}\right.$

对电场旋度的方程再求旋度，即

$\nabla\times\left ( \nabla\times\mathbf{E}\right )=\nabla\times\left ( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right )$

数学上有恒等式 $\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E})-\nabla^2\boldsymbol{E}$ ，又因为考虑无源场的传播问题，所以电场的散度为零，则 $\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})=-\nabla^2\boldsymbol{E}$ ，代入上式后得到

$-\nabla^2\boldsymbol{E}=\nabla\times\left ( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right )$

考虑物理量都是性质非常优良的函数，认为电磁场的一阶偏导连续，因此数学上二阶混合偏导可以交换顺序。同时考虑非相对论的情况，即空间和时间是不耦合的。因此，总可以将时间和空间的偏导交换顺序，即

$\nabla\times\left ( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right )= -\frac{\partial \left (\nabla\times \mathbf{B}\right )}{\partial t}$

再将磁感应矢量的旋度方程代入，得到

$-\nabla^2\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \left (\nabla\times \mathbf{B}\right )}{\partial t}= -\frac{\partial \left (\mu\varepsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right )}{\partial t}$

不考虑磁导率和电导率随时间的变化情况，得到

$\nabla^2\boldsymbol{E}= \mu\varepsilon\frac{\partial^2 \mathbf{E} }{\partial t^2}$

变一下形

$\frac{\partial^2 \mathbf{E} }{\partial t^2}-\frac{1}{ \mu\varepsilon}\nabla^2\boldsymbol{E}=0$

这就是常见的电矢量的波动方程。

同样，对于磁感应矢量的旋度方程再求旋度

$\nabla\times \left (\nabla\times\mathbf{B}\right )= \nabla\times\left (\mu\varepsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right )$

利用恒等式 $\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{B})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{B})-\nabla^2\boldsymbol{B}$ 和磁感应矢量的散度为零，并且视磁导率和电导率为常数，电场矢量是一阶偏导连续且非相对论的，因此

$-\nabla^2\mathbf{B}= \mu\varepsilon\frac{\partial \left (\nabla\times\mathbf{E}\right )}{\partial t} =\mu\varepsilon\frac{\partial \left (-\frac{\partial B}{\partial t}\right )}{\partial t}$

整理后

$\frac{\partial^2 B}{\partial t^2}-\frac{1}{\mu\varepsilon}\nabla^2\mathbf{B}=0$

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