麦克斯韦方程组（详细）

1 安培环路定律

在真空中，磁场强度H\mathbf{H}H沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿过的总电流。
∮lH⋅dl=∑i=1nIi\oint_{l}\mathbf{ H} \cdot d l=\sum_{i=1}^{n} I_{i} ∮lH⋅dl=i=1∑nIi

根据麦克斯韦提出的位移电流假设,得到全电流定律
∮lH⋅dl=∫S(Jc+∂D∂t)⋅dS{\color{Red} \oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{S}\left(\boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}} ∮lH⋅dl=∫S(Jc+∂t∂D)⋅dS
该式子表明，磁场不仅由传导电流产生，也能由变化的电流产生，即位移电流产生。

2 法拉第电磁感应定律

磁场中的一个闭合导体回路由于某种原因引起穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就产生了感应电流，表示回路中感应出了电动势，且感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率
Ein=−dΨdt\mathscr{E}_{\mathrm{in}}=-\frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} t} Ein=−dtdΨ
麦克斯韦将法拉第电磁感应定律的应用范围推广到介质或真空中的任意闭合曲线的情况，表示为
∮lE⋅dl=−∫S∂B∂t⋅dS{\color{Red} \oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot d l=-\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d \boldsymbol{S}} ∮lE⋅dl=−∫S∂t∂B⋅dS

3 电流连续性方程

在系统内，电荷可以从一个物体转移到另一个物体上，或者在一个物体内部移动，但在任意时刻系统内正负电荷的代数和总是恒定的。
∮SJc⋅dS=−∫V∂ρV∂tdV{\color{Red} \oint_{S} \boldsymbol{J}_{c} \cdot d \boldsymbol{S}=-\int_{V} \frac{\partial \rho_{V}}{\partial t} d V} ∮SJc⋅dS=−∫V∂t∂ρVdV

4 电场的高斯定律

穿过任何闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷
∮SE⋅dS=1ε0∫VρVdV\oint_{S} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho_{V} \mathrm{d} V ∮SE⋅dS=ε01∫VρVdV
或者
∮SD⋅dS=∫VρVdV{\color{Red}\oint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\int_{V} \rho_{V} \mathrm{d} V} ∮SD⋅dS=∫VρVdV

5. 磁场的高斯定律

磁通连续原理
∮SB⋅dS=0{\color{Red}\oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0} ∮SB⋅dS=0

6.麦克斯韦方程组

6.1 麦克斯韦方程组的积分形式

前面介绍了5个重要的方程，将其中四个方程归为一组即为麦克斯韦方程组的积分形式
∮lH⋅dl=∫S(Jc+∂D∂t)⋅dS∮lE⋅dl=−∫S∂B∂t⋅dS∮SD⋅dS=∫VρVdV∮SB⋅dS=0\oint_{l} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=\int_{S}\left(\boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}\\ \oint_{l} \boldsymbol{E} \cdot d l=-\int_{S} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d \boldsymbol{S}\\ \oint_{S} \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\int_{V} \rho_{V} \mathrm{d} V\\ \oint_{S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=0 ∮lH⋅dl=∫S(Jc+∂t∂D)⋅dS∮lE⋅dl=−∫S∂t∂B⋅dS∮SD⋅dS=∫VρVdV∮SB⋅dS=0
由电荷守恒导出的电流连续性方程，也是电磁理论中的重要方程
∮SJc⋅dS=−∫V∂ρV∂tdV\oint_{S} \boldsymbol{J}_{c} \cdot d \boldsymbol{S}=-\int_{V} \frac{\partial \rho_{V}}{\partial t} d V ∮SJc⋅dS=−∫V∂t∂ρVdV

麦克斯韦主要由四个方程组成，第一个方程称为全电流定律，是安培环路定律的推广；第二个方程由法拉第电磁感应定律导出；另两个方程为电场和磁场的高斯定律。

6.2 麦克斯韦方程组的微分形式

6.2.1 散度定理（高斯定理）

某一矢量散的体积分等于该矢量穿过该体积的封闭表面的总通量
∫V∇⋅FdV=∮SF⋅dS\int_{V} \nabla \cdot \boldsymbol{F} \mathrm{d} V=\oint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} ∫V∇⋅FdV=∮SF⋅dS

6.2.2 斯托克斯定律

一个矢量场的旋度在一开放曲面上的曲面积分等于该矢量沿此曲面的曲线积分
∫S(∇×F)⋅dS=∮lF⋅dl\int_{S}(\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\oint_{l} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} ∫S(∇×F)⋅dS=∮lF⋅dl

6.2.3 微分形式

应用斯托克斯定律可以导出麦克斯韦前两个方程的以及电流连续性方程微分形式
∇×H=Jc+∂D∂t∇×E=−∂B∂t\nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_{c}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} ∇×H=Jc+∂t∂D∇×E=−∂t∂B

∇⋅Jc=−∂ρV∂t\nabla \cdot \boldsymbol{J}_{c}=-\frac{\partial \rho_{V}}{\partial t} ∇⋅Jc=−∂t∂ρV

由散度定理可以写出电磁场的高斯定律微分形式
∇⋅D=ρV∇⋅B=0\begin{array}{c} \nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho_{V} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \end{array} ∇⋅D=ρV∇⋅B=0

7 媒介的电磁性质和边界条件

7.1 本构方程

麦克斯韦的积分形式以及微分形式归根结底还是描述的宏观电磁现象。要根据物质的微观模型和性质，将麦克斯韦方程组推广到一般电磁材料中。传导、极化、磁化是物质在电磁场中的三种基本现象。通过对材料的电磁性质的研究，可以获得三个本构方程（物态方程）。

传导：

本构方程：
Jc=σE{\color{Red}\boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}=\sigma \boldsymbol{E}} Jc=σE
σ\sigmaσ为金属的电导率， Jc\boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}Jc为电流密度，上式就是欧姆定律的微分形式。反应材料和电场关系的本构方程之一。

极化：

在外电场作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子，表面上出现束缚电荷的现象，称为电介质的极化
P=χcε0E\boldsymbol{P}=\chi_{c} \varepsilon_{0} \boldsymbol{E} P=χcε0E
P\boldsymbol{P}P是一个宏观物理量，表示电介质的极化程度。χc\chi_{c}χc称为电极化系数，是一个量纲为一的量。 ε0\varepsilon_{0}ε0 为真空介电常数。
本构方程：
D=ε0E+P{\color{Red}\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}} D=ε0E+P
磁化：

在外磁场作用下，物质中的原子磁矩都会受到一个扭矩作用，对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象成为物质的磁化。

M\boldsymbol{M}M定义为磁化强度
重要公式：
Jns=M×an\boldsymbol{J}_{\mathrm{ns}}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{a}_{\mathrm{n}} Jns=M×an
Jns\boldsymbol{J}_{\mathrm{ns}}Jns为束缚电流面密度，an{a}_{\mathrm{n}}an为面元法线。
M=χmH\boldsymbol{M}=\chi_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H} M=χmH
上式χm\chi_{\mathrm{m}}χm称为极化率

本构方程：
B=μ0（H+M）{\color{Red}\boldsymbol{B}=\mu_{0} （\boldsymbol{H}+ \boldsymbol{M}）} B=μ0（H+M）

7.2 媒介中的麦克斯韦方程组

∇×H=Jc+∂D∂t∇×E=−∂B∂t∇⋅D=ρV∇⋅B=0∇⋅Jc=−∂ρV∂tJc=σED=ε0E+PB=μ0(H+M)\nabla \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_{c}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{D}=\rho_{V} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0\\ \nabla \cdot \boldsymbol{J}_{c}=-\frac{\partial \rho_{V}}{\partial t}\\ \boldsymbol{J}_{\mathrm{c}}=\sigma \boldsymbol{E}\\ \boldsymbol{D}=\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}\\ \boldsymbol{B}=\mu_{0}(\boldsymbol{H}+ \boldsymbol{M})\\ ∇×H=Jc+∂t∂D∇×E=−∂t∂B∇⋅D=ρV∇⋅B=0∇⋅Jc=−∂t∂ρVJc=σED=ε0E+PB=μ0(H+M)

说明：麦克斯韦方程组中的4个方程并不是相互独立的，后面两个散度方程可以通过前面两个旋度方程加电流连续性方程导出（方程的独立是相对的）。

上述方程中含有E\boldsymbol{E}E、D\boldsymbol{D}D、、、B\boldsymbol{B}B、H\boldsymbol{H}H、Jc\boldsymbol{J}_{c}Jc五个未知矢量，以及一个未知标量ρV\rho_{V}ρV（3*5+1=16）

麦克斯韦方程组加上流连续性方程，含3个独立的方程（可以认为是两个旋度方程加电流连续性方程）,这3个独立方程中含有7个标量方程。而3个本构方程含9个标量方程。（9+7=16）

上面8个方程即为一般媒质中完整的麦克斯韦方程组(麦克斯韦方程组4+电流连续性方程1+本构方程3)。

7.3 边界条件

定义：决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件

由于边界中，媒质的性质发生了突变，故微分形式的麦克斯韦方程组不适用了，可以用麦克斯韦方程组的积分形式进行推导。

边界条件总结如下：

H的切向分量在界面处不连续，其数量等于界面处的自由表面电流密度

H1t−H2t=JnsH_{1 t}-H_{2 t}=J_{\mathrm{ns}} H1t−H2t=Jns

E的切向分量在整个界面上是连续的

E1t=E2tE_{1 t}=E_{2 t} E1t=E2t

B的垂直分量在界面B上连续

B1n=B2nB_{1 n}=B_{2 n} B1n=B2n

D的垂直分量在界面处不连续，其数量等于界面处的自由表面电荷密度

D1n−D2n=ρsD_{1 n}-D_{2 n}=\rho_{s} D1n−D2n=ρs

麦克斯韦方程组的组成由来、媒介的电磁性质和边界条件相关推荐

UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础5 电动力学的四类问题与对应的麦克斯韦方程
UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础5 电动力学的四类问题与对应的麦克斯韦方程 Electrostatics Magnetostatics Electromagnetic wave 一 ...
UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础4 介质中的麦克斯韦方程
UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础4 介质中的麦克斯韦方程推导介质中的麦克斯韦方程电位移矢量与辅助磁场强度推导介质中的麦克斯韦方程前三讲我们介绍了真空中的麦克斯韦方程的建立, ...
UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础3 麦克斯韦方程的势能形式
UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础3 麦克斯韦方程的势能形式定义电磁场的potential 改写Maxwell方程上一讲我们基于实验定律导出了真空中电磁场的Maxwell方程: ...
UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础1 库仑定律与毕奥-萨伐尔定律
UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础1 库仑定律与毕奥-萨伐尔定律 Coulomb定律与电场 Biot-Savart定律与磁场写在前面电磁理论是物理学中最优美的理论之一,因为它完备 ...
最美数学公式的150年：麦克斯韦方程组与“无用”的科学
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(1831-1879) 刚过去的2015年颇有纪念意义:我们庆祝了爱因斯坦的广义相对论的百周年,然后是乔治∙布尔(George Boole)的诞辰200周年生日,他发明的布尔代 ...
深入浅出地讲解麦克斯韦方程组
花了好长好长时间写的,转载请注明作者. ======================================= 题主简直坑爹.不讲微积分怎么给你讲麦克斯韦方程组?你不知道麦克斯韦方程组里面每个 ...
彩图完美解释：麦克斯韦方程组
来源:微波射频网麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组(英语:Maxwell's equations)是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组. 它含有四个方程,不仅分别描述了电场和磁场 ...
最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组
2004年,英国的科学期刊<物理世界>举办了一个活动:让读者选出科学史上最伟大的公式.结果,麦克斯韦方程组力压质能方程.欧拉公式.牛顿第二定律.勾股定理.薛定谔方程等"方程界&q ...
最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）
在上一篇文章<最美的公式:你也能懂的麦克斯韦方程组(积分篇)>里,长尾科技带着大家从零开始一步一步认识了麦克斯韦方程组的积分形式,这篇文章我们就来看看它的微分形式. 在积分篇里,我们一直在 ...

麦克斯韦方程组的组成由来、媒介的电磁性质和边界条件