有向无环图之关键路径

**有向无环图之关键路径**

1 AOE-网：边表示活动的网。AOE-网是一个带权的有向无环图，其中顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。

2 通常AOE-网可用来估算工程的完成时间。

例图：

该图总共有11项活动，9个事件。每个事件表示在它之前的活动已完成，在它之后的活动可以开始，如a表示整个工程开始，i表示整个工程结束，e表示<b,e>活动和<c,e>活动已经完成。网中只有一个入度为零的点（称作源点）和一个出度为零的点（叫做汇点）。

3 AOV-网要研究的问题是：

3.1 完成整个工程至少需要多少时间？

3.2 哪些活动是影响工程进度的关键？

4.1 由于在AOV-网中有些活动是可以并行的进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度（这里所说的路径长度是指路径上各项活动持续时间之和，不是路径上弧的数目）。

4.2 路径长度最长的路径叫做关键路径（Critical Path）。

4.3 假设开始点事a，从a到g的最长路径长度叫做事件g的最早发生时间，这个时间决定了所有以g为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。我们可以用e(i)（这个e不是图中的顶点e，只是个代号，当然也可以用其他的字母表示，i表示数字递增，e(i)意思是第几个活动）表示第i个活动的最早开始时间，还可以定义一个活动的最迟开始时间l(i)，这是在不推迟整个工程完成的前提下，第i个活动最迟必须开始的时间。两者之差意味着完成第i个活动的时间余量，就是还可以推迟多久必须开始。我们把最迟开始时间和最早开始时间相等的活动叫做关键活动。

4.4 显然，关键路径上的所有活动都是关键活动。该图的一个关键路径是(a,b,e,h,i),源点到汇点的最长路径长度是：18

4.5 第i个活动的最迟开始时间计算：源点到汇点的最长路径的长度-该活动到汇点的最长路径长度

如<d,f>活动的最迟开始时间：18-<d,f>-<f,h>-<h,i>=18-2-4-4=8

4.6 第i 个活动的最早开始时间计算:第i个活动之前的最长路径的长度

如<d,f>活动的最早开始时间：<a,d>=5

4.7 <d,f>的最迟开始时间是8，最早开始时间是5，这就意味着<d,f>活动可以推迟3天开始(8-5)，都不会影响整个工程的完成。

4.8 分析关键路径的目的是辨别哪些是关键活动，以便争取提高关键活动的工效，缩短整个工期。

5 AOE-网的关键路径算法思想：求关键活动就是要找e(i)=l(i)的活动。为了求得AOE-网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早发生时间ve(j)和最迟发生时间vl(j)，**因为活动是弧，以顶点（事件）为尾，活动所依赖的事件开始，活动也就开始了**。

5.1 如果活动由弧<j,k>表示，其持续时间记为dut(<j,k>)，则有如下关系：e(i)=ve(j)l(i)=vl(k)-dut(<j,k>)（vl(k)-dut(<j,k>)其实就是vl(j),上面解释过了为什么)

5.2 ve(j)和vl(j)需要分两步进行：

** 从ve(1)=0开始向前递推ve(j)=Max{ve(i)+dut(<i,j>)},其中<i,j>为图中的弧

** 从vl(n)=ve(n)起向后递推vl(i)=Min{vl(j)-dut(<i,j>)},其中<i,j>为图中的弧

这两个公式的计算必须分别在拓扑有序和逆拓扑有序的前提下进行，也就是说，ve(j)必须在v(j)(第j个顶点)的所有前驱的最早发生时间求得之后才能确定，而vl(j)则必须在v(j)的所有后继的最迟发生时间求得之后才能确定，因此可以在拓扑排序的基础上计算。

6 c语言实现上述算法的代码：git@github.com:hglspace/GetCriticalPath.git

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