12.1 根据下面的数据用excel进行回归，并对回归结果进行讨论，计算x1=200,x2=7x_1=200,x_2=7x1​=200,x2​=7时y的预测值。

y	x1x_1x1​	x2x_2x2​
12	174	3
18	281	9
31	189	4
28	202	8
52	149	9
47	188	12
38	215	5
22	150	11
36	167	8
17	135	5

解：

回归统计
Multiple R	0.459234179
R Square	0.210896032
Adjusted R Square	-0.014562245
标准误差	13.34121571
观测值	10

方差分析

	df	SS	MS	F	Significance F
回归分析	2	332.9837443	166.4918721	0.935410466	0.436485475
残差	7	1245.916256	177.9880365
总计	9	1578.9

	Coefficients	标准误差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	25.02870068	22.27862726	1.123439985	0.298297649	-27.65188163	77.70928299	-27.65188163	77.70928299
x1​	-0.049714341	0.105992426	-0.469036735	0.653300625	-0.300346602	0.200917919	-0.300346602	0.200917919
x2​	1.928169254	1.472160474	1.309754805	0.231623881	-1.552937105	5.409275613	-1.552937105	5.409275613

回归方程：
y^=25.02870068−0.049714341x1+1.928169254x2\hat{y}=25.02870068-0.049714341x_1+1.928169254x_2y^​=25.02870068−0.049714341x1​+1.928169254x2​
β^1=−0.049714341\hat{\beta}_1=-0.049714341β^​1​=−0.049714341表示在x2x_2x2​不变的条件下，x1x_1x1​每变化1个单位，y平均下降0.049714341个单位；β^2=1.928169254\hat{\beta}_2=1.928169254β^​2​=1.928169254表示在x1x_1x1​不变的条件下，x2x_2x2​每变化1个单位，y平均增加1.928169254个单位。
当x1x_1x1​=200，x2=7x_2=7x2​=7时，y的预测值为：y^=25.02870068−0.049714341×200+1.928169254×7=28.58\hat{y}=25.02870068-0.049714341\times200+1.928169254\times7=28.58y^​=25.02870068−0.049714341×200+1.928169254×7=28.58
12.2 一家电器销售公司的管理人员认为，月销售收入是广告费用的函数，并想通过广告费用对月销售收入作出估计。下面是近8个月的月销售收入与广告费用数据:

月销售收入y（万元）	电视广告费用x1x_1x1​（万元）	报纸广告费用x2x_2x2​（万元)
96	5.0	1.5
90	2.0	2.0
95	4.0	1.5
92	2.5	2.5
95	3.0	3.3
94	3.5	2.3
94	2.5	4.2
94	3.0	2.5

要求:
(1）用电视广告费用作自变量，月销售收入作因变量，建立估计的回归方程
(2)用电视广告费用和报纸广告费用作自变量，月销售收入作因变量，建立估计的回归方程。
(3）上述（1)和（2）所建立的估计的回归方程中，电视广告费用的系数是否相同?对其回归系数分别进行解释。
(4）在根据问题（2）所建立的估计的回归方程中，月销售收入的总变差中被估计的回归方程所解释的比例是多少?
(5）针对根据问题（2）所建立的估计的回归方程，检验回归系数是否显著〈α=0.05)。
解：
1)y^=88.63768+1.60386x1\hat{y}=88.63768+1.60386x_1y^​=88.63768+1.60386x1​
2)

回归统计
Multiple R	0.958663444
R Square	0.9190356
Adjusted R Square	0.88664984
标准误差	0.642587303
观测值	8

方差分析

	df	SS	MS	F	Significance F
回归分析	2	23.43540779	11.7177039	28.37776839	0.001865242
残差	5	2.064592208	0.412918442
总计	7	25.5

	Coefficients	标准误差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	83.23009	1.573868952	52.88247894	4.57175E-08	79.18433275	87.27585063	79.18433275	87.27585063
电视广告费用x_1x1​（万元）	2.29018	0.304064556	7.531899313	0.000653232	1.508560796	3.071806446	1.508560796	3.071806446
报纸广告费用x_2x2​（万元)	1.30099	0.320701597	4.056696662	0.009760798	0.476599398	2.125378798	0.476599398	2.125378798

y^=83.23009+2.29018x1+1.30099x2\hat{y}=83.23009+2.29018x_1+1.30099x_2y^​=83.23009+2.29018x1​+1.30099x2​
3)不相同，在1）中，β^1=1.60386\hat{\beta}_1=1.60386β^​1​=1.60386表示电视广告费用每增加1万元，月销售收入平均增加1.60386万元；在2）中表示，在报纸广告费用不变的情况下，电视广告费用每增加1万元，月销售收入平均增加2.29018万元。
4）R2=91.90%,Ra2=88.66%R^2=91.90\%,R_a^2=88.66\%R2=91.90%,Ra2​=88.66%,月销售收入的总变差中被估计的回归方程所解释的比例是88.66%88.66\%88.66%
5)β1{\beta}_1β1​的P-value=0.000653232，β2{\beta}_2β2​的P-value=0.009760798，均小于0.05，两个回归系数均显著。
12.3 某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨量和春季温度的数据如下：

收获量y(kg/hm2)y(kg/ hm^2)y(kg/hm2)	降雨量x1（mm)x_1 （mm)x1​（mm)	温度x2(℃)x_2(℃)x2​(℃)
2250	25	6
3450	33	8
4 500	45	10
6 750	105	13
7 200	110	14
7500	115	16
8 250	120	17

要求:
(1) 确定早稻收获量对春季降雨量和春季温度的二元线性回归方程。
(2) 解释回归系数的实际意义。
(3) 根据你的判断,模型中是否存在多重共线性?
解：
1)y^=−0.5910+22.3865x1+327.6717x2\hat{y}=-0.5910+22.3865x_1+327.6717x_2y^​=−0.5910+22.3865x1​+327.6717x2​
2)回归系数β^1\hat{β}_1β^​1​=22.3865表示，降雨量每增加1mm，小麦收获量平均增加22.3865(kg/hm2)22.3865(kg/ hm^2)22.3865(kg/hm2);回归系数β^2\hat{β}_2β^​2​=327.6717表示，温度每增加1℃，小麦收获量平均增加327.6717(kg/hm2)327.6717(kg/ hm^2)327.6717(kg/hm2)。
(3) 从降雨量和温度与收获量的关系看，两个变量与收获量之间都存在较强的关系，而且温度与降雨量之间也存在较强的关系，因此，模型中可能存在多重共线性。
12.4 一家房地产评估公司想对某城市的房地产销售价格(y)与地产估价(x1x_1x1​)、房产估价（x2x_2x2​）和使用面积(x3x_3x3​）建立一个模型，以便对销售价格作出合理预测。为此，它收集了20栋住宅的房地产评估数据。

房地产编号	销售价格y（元/平方米)	地产估价x1x_1x1​(万元）	房产估价	x2x_2x2​(万元）使用面积x3x_3x3​(平方米)
1	6890	596	4497	18730
2	4850	900	2780	9 280
3	5550	950	3144	11 260
4	6 200	1000	3959	12650
5	11 650	1 800	7283	22140
6	4 500	850	2732	9120
7	3 800	800	2986	8 990
8	8300	2300	4775	18030
9	5 900	810	3912	12040
10	4 750	900	2935	17250
11	4 050	730	4012	10 800
12	4 000	800	3168	15 290
13	9 700	2000	5851	24 550
14	4 550	800	2345	11 510
15	4 090	800	2089	11 730
16	8 000	1050	5625	19 600
17	5 600	400	2086	13440
18	3 700	450	2261	9 880
19	5 000	340	3595	10 760
20	2240	150	578	9620

用Excel进行回归,并回答下面的问题:
(1)写出估计的多元回归方程。
(2）销售价格的总变差中被估计的回归方程所解释的比例是多少?
(3)检验回归方程的线性关系是否显著（α=0.05)。
(4）检验各回归系数是否显著（α=0.05)。
解：
回归统计

Multiple R	0.947362461
R Square	0.897495632
Adjusted R Square	0.878276063
标准误差	791.6823283
观测值	20

方差分析

	df	SS	MS	F	Significance F
回归分析	3	87803505.46	29267835.15	46.69696966	3.87913E-08
残差	16	10028174.54	626760.909
总计	19	97831680

	Coefficients	标准误差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	148.700454	574.421324	0.25887001	0.799036421	-1069.018355	1366.419263	-1069.018355	1366.419263
地产估价	0.814738183	0.511988507	1.591321236	0.13109905	-0.270628965	1.900105332	-0.270628965	1.900105332
房产估价	0.820979542	0.211176502	3.887646272	0.001307361	0.373305355	1.268653728	0.373305355	1.268653728
使用面积	0.135041012	0.065863312	2.050322204	0.057088037	-0.004582973	0.274664997	-0.004582973	0.274664997

1）y^=148.7005+0.8147x1+0.8210x2+0.1350x3\hat{y}=148.7005+0.8147x_1+0.8210x_2+0.1350x_3y^​=148.7005+0.8147x1​+0.8210x2​+0.1350x3​
2)R2=89.75%,Ra2=87.83%R^2=89.75\%,R_a^2=87.83\%R2=89.75%,Ra2​=87.83%
3)Significance F=3.88E-08<0.05 显著
4)β1的P−value=0.1311>α,不显著；\beta_1的P-value=0.1311>\alpha,不显著；β1​的P−value=0.1311>α,不显著；
β2的P−value=0.0013<α,显著\beta_2的P-value=0.0013<\alpha,显著β2​的P−value=0.0013<α,显著;
β3的P−value=0.0571>α,不显著\beta_3的P-value=0.0571>\alpha,不显著β3​的P−value=0.0571>α,不显著
12.5 下面是随机抽取的15家大型商场销售的同类产品的有关数据:
单位:元

企业编号	销售价格y	购进价格x1x_1x1​	销售费用x2x_2x2​
1	1238	966	223
2	1 266	894	257
3	1 200	440	387
4	1193	664	310
5	1106	791	339
6	1 303	852	283
7	1313	804	302
8	1144	905	214
9	1286	771	304
10	1084	511	326
11	1120	505	339
12	1 156	851	235
13	1 083	659	276
14	1 263	490	390
15	1246	696	316

要求:
(1)计算y与x1、y与x2x_1、y与x_2x1​、y与x2​之间的相关系数，是否有证据表明销售价格与购进价格、销售价格与销售费用之间存在线性关系?
(2)根据上述结果，你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否有效?
(3)用 Excel进行回归，并检验模型的线性关系是否显著（α=0.05）。
(4)解释判定系数R2R^2R2,所得的结论与（2)是否一致?
(5)计算x1与x2x_1与x_2x1​与x2​之间的相关系数，所得结果意味着什么?
(6)模型中是否存在多重共线性?你对模型有何建议?
解：1）ryx1=0.3090;ryx2=0.0012r_{yx_1}=0.3090;r_{yx_2}=0.0012ryx1​​=0.3090;ryx2​​=0.0012
t1=∣r∣n−21−r2=1.1712t_1=|r|\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}=1.1712t1​=∣r∣1−r2n−2​​=1.1712
t2=∣r∣n−21−r2=0.0044t_2=|r|\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}=0.0044t2​=∣r∣1−r2n−2​​=0.0044
tα/2(n−2)=2.1604t_{\alpha/2}(n-2)=2.1604tα/2​(n−2)=2.1604
t1<tα/2(n−2),t2<tα/2(n−2)t_1<t_{\alpha/2}(n-2),t_2<t_{\alpha/2}(n-2)t1​<tα/2​(n−2),t2​<tα/2​(n−2)
所以没有证据表明销售价格与购进价格、销售价格与销售费用之间存在线性关系
2）无效
3）

回归统计
Multiple R	0.59368371
R Square	0.352460348
Adjusted R Square	0.244537073
标准误差	69.75121229
观测值	15

方差分析
	df	SS	MS	F	Significance F
回归分析	2	31778.15394	15889.07697	3.26584184	0.073722186
残差	12	58382.77939	4865.231616
总计	14	90160.93333

	Coefficients	标准误差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	375.6018288	339.410562	1.10662976	0.290145025	-363.9102582	1115.113916	-363.9102582	1115.113916
购进价格x_1x1​	0.537840951	0.21044674	2.55571054	0.02519961	0.079316894	0.996365008	0.079316894	0.996365008
销售费用x_2x2​	1.457193542	0.667706586	2.182386056	0.049681066	0.002385867	2.912001217	0.002385867	2.912001217

Significance F=0.0737>0.05，不显著

4）R2=35.25%,Ra2=24.45%R^2=35.25\%,R_a^2=24.45\%R2=35.25%,Ra2​=24.45%，一致
5)rx1x2=−0.8529r_{x_1x_2}=-0.8529rx1​x2​​=−0.8529，x1x2x_1x_2x1​x2​之间高度负相关
6)因为x1x2x_1x_2x1​x2​之间高度负相关，可能存在多重共线性。可剔除一个变量建立模型再验证。

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